Основні теоретичні положення. Нелінійні рівняння можна розділити на два класи - алгебраїчні і трансцендентні

Нелінійні рівняння можна розділити на два класи - алгебраїчні і трансцендентні. Алгебраїчні рівняння – це рівняння, що містять лише алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Зокрема, многочлен є цілою алгебраїчною функцією. Рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показникові, логарифмічні та інші) називаються трансцендентними.

Методи розв’язку нелінійних рівнянь діляться на дві групи: точні методи; ітераційні методи.

Точні методи дозволяють записати корені рівняння у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Проте, багато рівнянь та систем рівнянь не мають аналітичних розв’язків. Це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено, що неможна побудувати формулу, за якою можна було би розв’язати довільне алгебраїчне рівняння більше четвертого степеня. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, що відомі лише приблизно, і, відповідно, завдання точного визначення коренів рівняння не має змісту. Для їхнього розв’язку використовуються ітераційні методи з певною степінню точності.

Розв’язок одного рівняння засобами Mathcad|

Для простих рівнянь у вигляді f(x) = 0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root(f(х1, x2), х1, а, b). Функція повертає значення х1, що належить відрізку [ а, b ], при якому вираз або функція f(х) прирівнюються до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр. х1 -ім'я змінної, яка використовується у виразі. Цій змінній перед використанням функції root необхідно присвоїти числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня; а, b – граничні параметри відрізка пошуку кореня розв’язку, але є необов'язковими, а якщо використовуються, то мають бути дійсними числами, причому а < b.

Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить відповідного наближення, то з'явиться повідомлення “ Not converging ” (“відсутня збіжність”). Ця помилка може бути спричинена такими причинами:

§ Рівняння не має кореня розв’язку.

§ Корінь рівняння знаходиться далеко від початкового наближення.

§ Вираз має локальні max і min між початковим наближенням і коренем розв’язку.

§ Вираз має розриви між початковими наближеннями і коренем розв’язку.

§ Вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було дійсним.

Щоб встановити причину помилки треба дослідити графік f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x)= 0 і, якщо вони є, то визначити приблизно їхні значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, тим швидше буде root сходитися.

Рекомендації до використання функції root: для зміни точності, з якою функція root шукає корінь, потрібно змінити значення системної змінної TOL. Якщо значення TOL збільшується, функція root сходитиметься швидше, але відповідь буде менш точна. Щоб змінити значення TOL в певній точці робочого документа, використовуйте визначення вигляду . Щоб змінити значення TOL для всього робочого документа, виберіть команду Математика (Math) → Параметри (Options) → Змінні (Built-in Variables) → Допуск збіжності (TOL).