Линейное программирование – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования в смысле нахождения оптимальных значений переменных. Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного описания реальных экономических процессов.
Нелинейное программирование – если хотя бы одна из функций (целевая или в ограничениях – нелинейная). Задача оптимизации функции полезности (потребительского предпочтения) при ограничениях на бюджет , , - нелинейная. Здесь — вектор цен на набор из n продуктов , — доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов .
Функция оценивает уровень удовлетворения потребителя при приобретении им данного набора товаров. Неоклассическая функция полезности: , , ;
Функция полезности (аналитическая) имеет 3 свойства:
1) . Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов. Если при неизменных количествах других продуктов, то . Это означает, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других приводит к росту потребительской оценки. Вектор grad функции показывает направление наибольшего роста функции - вектор предельных полезностей продуктов.
|
|
2) , , Предельная полезность любого товара уменьшается с ростом его потребления. Это утверждение является законом Госсена (немецкий экономист, первым установивший эту закономерность).
3) , . Это свойство означает, что предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.
Неоклассическая функция полезности: , , ;
Кривые безразличия. В прикладных задачах и моделях потребительского выбора часто используются случай набора из двух товаров. Вводится понятие кривой безразличия, соединяющей потребительские наборы с одним и тем же уровнем удовлетворения. Кривые безразличия представляют собой линии уровня функции . Уравнение кривой безразличия: .
Множество кривых безразличия (карта кривых безразличия) изображается на плоскости в виде семейства кривых.
Основные свойства кривых безразличия: 1. Кривые безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. 2. Кривые безразличия убывают. Первая производная функции отрицательна по свойству 1) функции полезности.3. Кривые безразличия выпуклы вниз (рис 1).
Из формул можно получить следующее приближенное равенство: , которое показывает, на сколько индивид должен увеличить или уменьшить потребление второго продукта при уменьшении или увеличении потребления первого продукта на одну единицу, не изменяя уровня удовлетворения.
|
|
3. Бюджетное множество ограничений Множество наборов товаров стоимостью не более при данных ценах называется бюджетным множеством , а множество наборов стоимостью называется границей множества и обозначается . Так как граница определяется соотношением , то бюджетное множество описывается системой неравенств в векторной форме: , , в координатной форме: , , . В случае набора из двух товаров бюджетным множеством является треугольник, ограниченный осями координат и прямой (рис. 2).
X2 |
X1 |
Рис. 1 |
С1 |
С4 |
С3 |
С2 |
X1 |
X2 |
1/p1 |
1/p2 |
p1x1+p2x2=I |
Рис..2 |
В методах динамического программирования используется аддитивная целевая функция в виде суммы результирующих показателей по этапам - одни решения приводят к необходимости принимать последующие решения, то есть происходит цепь последовательных решений. Пример: Задача о назначениях:
Директор хочет выбрать на работу помощника-секретаря и имеет возможность испытать 3х кандидатов. Известно, что на прием могут прийти секретари трех уровней квалификации, которым можно присвоить баллы: 1) отличный – 3 балла, 2) хороший – 2 балла, 3) посредственный – 1 балл. Известна статистика рынка секретарей каждой квалификации, определяемая вероятностями: Отл. Р= 0,2; Хор. Р= 0,3; Поср. Р= 0,5.
Если кандидату отказано, то он покидает дирекцию, не ожидая.
По методам динамического программирования начинают анализ с конца.
А). Рассмотрим последний этап. Какую ситуацию получим на III этапе? Т.к. третий секретарь будет обязательно принят, то с учетом вероятностей значение аддитивной целевой оценочной функции в баллах, которую мы получим как математическое ожидание (среднее), будет.
а 3 = 3*0,2 + 2*0,3 + 1*0,5 = 1,7
Б). Вернемся на предыдущий этап II-го шага
На втором этапе, если получим отличного (3 балла) секретаря с вероятностью 0,2 – принимаем на работу; если посредственного (1 балл) с вероятностью этого 0,5, то обязательно продолжим на третьем этапе, если же получим хорошего (2 балла) – вероятность 0,3 и остановимся, то в среднем на 2-м этапе получим:
а 2 = 3*0,2 + 2*0,3 + 1,7*0,5 = 2,05
В). Предыдущий этап – первый. Средний выигрыш, который будет, если на 1-м этапе отл.- принимать, хор.-продолжать, поср.- продолжать будет такой:
а 1 = 3*0,2 + 2,05*0,3 + 2,05*0,5 = 2,24
Т.е. за счет того, что мы испытываем трех кандидатов мы получим дополнительный выигрыш качества: ∆ = 2,24 – 1,7 = 0,54