Дисперсионный анализ результатов оценивания

 

О качестве оценки регрессионных коэффициентов и выбранной структуры модели на основании (4) можно судить по остаточной сумме квадратов ошибки (9).

(9)

где

- остаточная сумма квадратов ошибки;

- истинное значение отклика (табл. 1);

- предсказанное значение отклика;

- ошибка для i-го значения выборки;

- количество экспериментальных наблюдений.

 

Введем выражение полной суммы квадратов ошибки (10).

(10)

где

- полная сумма квадратов ошибки;

- остаточная сумма квадратов ошибки;

- сумма квадратов ошибки, обусловленная уравнением регрессии.

 

Полная сумма квадратов ошибки определяется по формуле (11).

(11)

где

- истинное значение отклика (табл. 1);

- среднее значение отклика от результатов наблюдений (12).

(12)

Значение суммы квадратов ошибки, обусловленной регрессией определяется по формуле (13).

(13)

где

- предсказанное значение отклика;

- среднее значение отклика от результатов наблюдений.

 

Выражение (10) является основным уравнением дисперсионного анализа. Его составные части говорят о следующем:

1. - сумма квадратов ошибки, обусловленная уравнением регрессии, определяемая по формуле (13). показывает, что предсказанное значение отклика определяет линейных связей между наблюдениями , так как в нее входят оценок коэффициентов , определяемых по тем же наблюдениям. Причем определяет одну линейную связь между ними. Исходя из этого, число степеней свободы равно: .

2. - остаточная сумма квадратов ошибки. Отражает влияние всех тех причин рассеивания результатов , которые не может объяснить регрессия. Число степеней свободы равно: .

Таким образом, число степеней свободы для полной суммы квадратов ошибки определяется по формуле (14) и равняется :

(14)

 

Наиболее значимой величиной дисперсионного анализа остатков является несмещенная оценка дисперсии случайного возмущения, если выбранная структура модели верна (15).

(15)

 

Так же оценивается показатель (16).

(16)

Таким образом, процедуру проведения дисперсионного анализа результатов оценивания можно свести к табл. 2.

Табл. 2. Показатели дисперсионного анализа

Источник рассеяния	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Оценка дисперсии
Регрессия
Остаток
Общий