Системы линейных уравнений. Операции над матрицами

Операции над матрицами

1. Равенство матриц.

2. Сложение

3. Умножение матрицы на число

4. Умножение матриц.

Умножение возможно, если кол-во столбцов первой матрицы равно кол-ву строк другой. Каждый элемент произведения равен сумме произведений элементов i-й строки I матрицы на элементы j-ого столбца II матрицы.

 

3.Определители втором порядка

Определителем втором порядка называется число равное разности произведений элементов главной и побочной диагонали.

Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить соответствующими столбцами (транспонировать).

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке двух строк или столбцов определителя.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.

4. Общий множитель всех элементов некоторой строки или столбцами можно выносить за знак определителя

5. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулям, то определитель равен 0.

6. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца умноженной на одно и то же число.

 

Определители 3-го порядка

Методы вычисления:

1. правила треугольников

2. метод понижения порядка. Минором элемента определителя n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из определителя n-ого порядка вычеркиванием i-й строки и j-ого столбца. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на их алгебраическое дополнение.

 

Обратная матрица

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную, как справа так и слева, получается единичная матрица.

Если определитель = 0 то обратной матрицы не существует.

системы линейных уравнений

Система линейный уравнений m*n

m – кол-во уровней; n – кол-во переменных; - коэффициент переменной j; – переменная j

решение С. Л. У. – совокупность чисел, при подстановке которых в уравнение, все эти уравнения обращаются в верное равенство.

Система называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если имеет хотя юы одно решение, неопределенной – если имеет множество решений.

2 системы называют эквивалентными, если множество их решений совпадает.

 

10. - метод обратной матрицы

8. Метод Гаусса – это метод последовательного исключения элементов. Заключается в том, что с помощью элементарных преобразований приводится равносильной системе ступенчатого или треугольного вида. Из полученной системы последовательно, начиная с последних по номеру элементов находят все остальные переменные.

Метод Крамера

1) - С.Л.У. имеет единственное решение

2) и все то система имеет множество решений.

3) и хотя бы один из определителей то система не имеет решений