Решение матричных уравнений

Матричным назовем уравнение, в котором роль неизвестного играет некоторая матрица Х.

Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения АХ = С, ХВ = С, АХВ = С, где Х и С – прямоугольные матрицы равных размеров, А и В – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что матрицы А и В невырожденные, то эти уравнения имеют одно и только одно решение Х = А^-1С, Х = СВ^-1 и Х = А^-1СВ^-1 соответственно. Действительно, рассмотрим, например, уравнение АХ = С, где det А ≠ 0. Умножая слева обе части этого уравнения на А⁻¹, получим: А^-1 (АХ) = А^-1С, (А^-1А)Х = А^-1С, ЕХ = А^-1С, Х = А^-1С.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные понятия. Критерий совместности СЛАУ.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид: .

Решением системы называется такая совокупность n чисел, при постановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, а несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если решений больше одного. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rang A=rang A˜.

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.