Определение частного целого неотрицательного числа и натурального числа через произведение. Теоремы о его существовании и единственности с доказательством

Рассмотрим множество А, в котором а элементов. Разобьем его на одинаковые не пересекающиеся подмножества. Они попарно не пересекающиеся и равно 1) если в каждом из этих подмножеств содержится по в элементов, то частным а: в называется число подмножеств в разбиение К 2) если b – число подмножеств в разбиении, то частное чисел а и b – это число элементов в каждом подмножестве разбиения. 6:2=3 Доказательство: 1) А ={1:2:3:4:5:6} A1 ={1:2} A2 ={3:4} A3 ={5:6} A1 ∩ A2 =A∩A3 =A3∩A1

A1 ~ A2 ~ A3 n (A1) = 2 6:2=3 2) А1 ={1:3:5} A2 ={2:4:6} A1 ∩ A2,A1∩ A2 6:2=n(A1)=3 ч.т.д. Определения частного через произведение. Опр.Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется тоже целое неотрицательное число с, что а: b=с<=>b*c=a (<=> - тогда и только тогда, когда) Теорема: Для того, чтобы частное а и b существовало, необходимо чтобы b не превосходило а. (а ≥ b) Теорема: Если частное существует, то оно единственное. Док-во методом от противного. Предположим, что частное существует, но оно не существенное. c1 ≠ c2,, c1, c2 Є Z (Є Z - принадлежит целым натуральным числам) a:b=c1 a:b=c2

b*c1=a, b*c2-a => b*c1= b*c2 т.к. b – натуральное, т.е. отличное от 0 число, разделим обе части на 0 => b*c1= b*c2 |: b ≠ 0 => c1= c2 – пришли к противоречию => a* b – единственные.