Определение разности натуральных чисел через сумму. Теоремы о существовании и единственности разности во множестве натуральных чисел с доказательством

Операция нахождения значения разности называется вычитанием. Таким образом, вычитание - операция, обратная сложению. а-уменьшаемое, b- вычитаемое, с-значение разности. Например, 9-5=4, 4- это значение разности, т.к. 5+4=9. Условие существования разности: Теорема 6. (необходимое и достаточное условие). Разность натуральных чисел а-b существует тогда и только тогда, когда а>b. ("а, bÎN) $ с=а-b <=> а>b Док-во: 1.(небходимость) Пусть существует разность чисел а и b, т.е. а-b. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что а= b +с. Значит а >b (по определению отношения «меньше»). 2.(достаточность). Пусть дано, а> b. Тогда, по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что а=b+с.

Но, если а+b=с, то по определению разности чисел а и b, следует, что разность а =с-b. Следовательно, разность двух натуральных чисел существует. ч.т.д. Теорема 7. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственная. Доказательство (от противного). Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b: а-b =с1 и а-b = с2. При чем с1 не равно с2. Тогда а= b +с1 и а= b +с2 (определение разности). Левые части равенств есть одно и тоже число, значит, равны и правые части этих равенств. Следовательно: b +с1 = b +с2 По свойству сократимости сложения, заключаем, что С1 = с2. Правило вычитания числа из суммы: Пусть а, b, с - натуральные числа. (а+b)–с =(а-с)+b, если а> с. Или (а+b) –с=а+(b–с), если b> с. Или (а+b) –с=s–c, если s=а+b. Правило вычитания суммы из числа: Пусть а,b,с- натуральные числа. Если а> (b+с), то а–(b+с) = (а–b)–с или а–(b+с) = (а–с)– b, или а–(b+с) = а– s, где s=а+b. Правила 1и 2 являются теоретической основой различных приемов вычислений. (а+b) -(c+d), если (а+b)>(с +d). (а+b) -(c+d)=(а-с)+(b-d), если а>с, b>d. (а+b) -(c+d)=(а-d)+(b-с), если а > d и b >с.

Свойства множества натуральных чисел.

Из аксиом Пеано, из определения отношений «больше», «меньше» и их свойств следуют свойства множеств а натуральных N и целых неотрицательныхN0 чисел: В множестве N(илиN0)существует наименьший элемент1 (0)(следует из первой аксиомы ПеаноА1).

В множестве N(илиN0)не существует наибольшего элемента (доказывается методом от противного с использованием аксиомы А2). Этим объясняется бесконечность множеств N иN0. Ни для одного натурального (или целого неотрицательного) числа ане существует такого натурального числаn, чтоа < n < а + 1. Это свойство называется свойствомдискретности множества натуральных чисел (илиN0), а числааиа+1называютсоседними. Любое непустое подмножество натуральных чисел (или N0) содержит наименьшее число.

Если М– непустое подмножество множества натуральных чисел (илиN0) и существует такое числоb, что для всех чиселхизМвыполняется неравенствох <b, то в множествеМесть наибольшее число. Множество N0(илиN) – линейно упорядоченные множества, т.е. для их элементов имеют место следующие утверждения: 0 < 1 < 2 < 3 <…< n<n+1 <… (1 < 2 < 3 <... < n<n+ 1 <...).