ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1 Понятие определенного интеграла………………………………………4
1.1 Определение и свойства определенного интеграла ………………..4
1.2 Вопросы для самопроверки ……………. …………………………..6
1.3Примеры для самостоятельного решения………………………….. 6
2 Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле…………………………………………………………………..6
2.1 Замена переменной в определенном интеграле……………………..6
2.2 Формула интегрирования по частям в определенном интеграле…..8
2.3 Вопросы для самопроверки…………………………………………..10
2.4 Примеры для самостоятельного решения…………………………...11
3 Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла………………………………………………………………......12
3.1 Площадь криволинейной трапеции………………………………….12
3.2 Длина дуги кривой……………………………………………………16
3.3 Объем тела вращения………………………………………………....18
3.4 Площадь поверхности вращения…………………………………….20
|
|
3.5 Работа переменной силы……………………………………………..22
3.6 Вопросы для самопроверки…………………………………………..23
3.7 Примеры для самостоятельного решения…………………………...24
4 Несобственные интегралы……………………………………………….24
4.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования……………………………………………………….24
4.2 Несобственные интегралы от неограниченных функций………….26
4.3 Вопросы для самопроверки……………………………………….....27
4.4 Примеры для самостоятельного решения…………………………..27
ВВЕДЕНИЕ
Цель настоящих методических указаний - изложение основных приемов вычисления определенных интегралов и иллюстрация их на примерах с подробными пояснениями.
Важность темы «Определенный интеграл» для студентов аграрного университета очевидна благодаря огромному числу приложений таких интегралов в различных разделах физики, механики, гидравлики и других наук.
Методические указания содержат: краткие теоретические сведения, решение типовых примеров, вопросы для самопроверки и список рекомендуемой литературы.
Понятие определенного интеграла
Определение и свойства определенного интеграла
Пусть - функция, определенная на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками . Обозначим , где , .
В каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку ξ и составим интегральную сумму .
Если предел при стремлении к нулю существует и не зависит от способа разбиения отрезка точками на части и от выбора точек , то он называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается .
|
|
Таким образом, .
На практике определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница (1), где первообразная функции . Формула (1) применяется, когда известна первообразная и ее вычисление при и не вызывает затруднений. Применяются обозначения .
Основные свойства определенного интеграла
1. ,
2.
3. Каковы бы ни были числа a, b, c имеет место равенство
4.
5.
Пример 1
Вычислить .
Решение. Первообразные функций и известны: ; поэтому, используя свойство 5, получаем .
Ответ.
Пример 2
Вычислить .
Решение. По правилам интегрирования тригонометрических выражений имеем
Ответ.
Вопросы для самопроверки
1. Что понимается под интегральной суммой?
2. Что называется определенным интегралом от функции ?
3. Как на практике вычисляется определенный интеграл?
4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.