2018-01-08
209
,
где 
– определитель матрицы, полученной из расширенной матрицы системы вычеркиванием i -го столбца. Тогда
.
Поскольку 
, можно написать
,
откуда, сравнивая с 
, делаем вывод, что 
(
) удовлетворяют j -му уравнению системы. Поскольку выражения для 
не зависят от j, то они удовлетворяют всем уравнениям системы. Тем самым существование решения доказано. Учитывая, что 
, получаем нужный вид для формул Крамера:
.
Осталось доказать единственность полученного решения. Предположим, есть два решения 
и 
. Подставим эти решения в систему: 
и 
. Тогда
,
поскольку существование обратной матрицы гарантируется ненулевым определителем матрицы А. ■
Также системы линейных уравнений (j =1,2,…, m) с квадратной матрицей, определитель которой неравен нулю, можно решать с помощью нахождения обратной матрицы, или другими словами, решая матричное уравнение 
. Поскольку 
, обратная матрица 
существует. Поэтому 
– решение системы.
