Функция. Основные определения и понятия

Функция является одним из основных понятий математического анализа. Пусть Х и У произвольные множества действительных чисел.

Если каждому числу х Î Х по некоторому правилу или закону постав-лено в соответствие единственное вполне определенное действительное число у Î У, то говорят, что задана функция с областью определения Х и множеством значений У. Обозначают у = f(х). Переменная величина х называется аргументом функции.

В определении функции существенны два момента: указание области определения и установление закона соответствия.

Областью определения или областью существования функции называется множество значений аргумента при которых функция существует, то есть имеет смысл.

Областью изменения функции называется множество значений у, которые он принимает при допустимых значениях х.

Способы задания функции.

1. Аналитический способ задания функции.

При этом способе задания функции закон соответствия записывается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей посредством каких математических преобразований по известному значению аргумента х можно найти соответствующее значение у.

Функция может быть задана одним аналитическим выражением на всей своей области определения или представлять совокупность нескольких аналитических выражений.

Например: у = sin (x² + 1)

2. Табличный способ задания функции

В результате непосредственного наблюдения или экспериментального изучения какого-либо явления или процесса в определенном порядке выписываются значения аргумента х и соответствующие им значения у.

Эта таблица определяет функцию у от х.

Примером табличного способа задания функции могут служить таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, даты и курсы валют, температура и влажность воздуха и т.д.

3. Графический способ задания функции.

Графический способ задания функции состоит в изображении на координатной плоскости точек (х, у) посредством технических устройств. Графическим способом задания функции в математическом анализе не пользуются, но к графической иллюстрации аналитически заданных функций прибегают всегда.

График функции

Зададим прямоугольную декартову систему координат хоу и некоторую функцию у = f(х). Рассмотрим пары соответствующих значений х и f (х). Образом этой пары на плоскости служит точка М (х, f(х)). Если переменная х принимает всевозможные значения из области существования функции, получается множество точек плоскости, которое составляет некоторую кривую. Эта кривая называется графиком функции.