Функция не определена при . Однако её значения в окрестности точки нуль существуют. Поэтому можно рассматривать предел этой функции при . Этот предел носит название первого замечательного предела.
Он имеет вид: .
Например. Найти пределы: 1. . Обозначают , если , то . ; 2. . Преобразуем данное выражение так, чтобы предел свёлся к первому замечательному пределу. ; 3. .
Рассмотрим переменную величину вида , в которой принимает значения натуральных чисел в порядке их возрастания. Дадим различные значения: если
Давая следующие значения из множества , нетрудно увидеть, что выражение при будет . Более того, доказывается, что имеет предел. Этот предел обозначается буквой : .
Число иррациональное: .
Теперь рассмотрим предел функции при . Этот предел называется вторым замечательным пределом
Он имеет вид .
Например.
а) . Выражение заменим произведением одинаковых сомножителей , применим теорему о пределе произведения и второй замечательный предел ; б) . Положим , тогда , .
Второй замечательный предел используется в задаче о непрерывном начислении процентов
|
|
При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:
,
где - первоначальный вклад,
- ежегодный банковский процент,
- число начислений процентов в год,
- время, в годах.
Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста
.
Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов