Описание экспериментальной установки. Моментом инерции материальной точки называют скалярную физическую величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния от оси ее вращения

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

Моментом инерции материальной точки называют скалярную физическую величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния от оси ее вращения

I = mr².

Всякое тело можно рассматривать как совокупность некоторого числа материальных точек. Поэтому момент инерции тела определяется суммой моментов инерции всех его материальных точек

Момент инерции характеризует инертность тела при вращательном движении. Он входит в ряд важных физических соотношений, определяющих момент импульса и кинетическую энергию твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси

С помощью момента инерции удобно представлять второй закон Ньютона для вращающихся тел.

`M = I `b

Определение момента инерции тел является довольно сложной математической задачей. Поэтому весьма часто момент инерции тела определяют экспериментально с помощью крутильного маятника.

Известно, что при небольших углах закручивания крутильный маятник совершает гармонические колебания, период которых определяется по формуле

, (1)

где I - момент инерции маятника, D - некоторая постоянная, характеризующая упругие свойства подвеса.

Увеличим момент инерции крутильного маятника, закрепив на нем тело с моментом инерции I₁. Период колебаний маятника также увеличится и станет равным

. (2)

Если закрепить другое тело с моментом инерции I₂, период колебаний маятника станет

. (3)

Исключая из формул (2) и (3) неизвестные величины I₀ и D, получим простую формулу, с помощью которой можно сравнивать моменты инерции двух тел

. (4)

Здесь T₀ - период колебаний ненагруженного маятника, T₁ - период колебаний маятника, когда на нем закреплено тело с моментом инерции I₁, T₂ - период колебаний маятника, когда на нем закреплено тело с моментом инерции I₂.

В случае однородных тел правильной формы момент инерции легко вычислить. В результате можно получить формулы, связывающие моменты инерции тел с их массой и размерами.

Момент инерции прямого кругового цилиндра с радиусом основания R относительно оси, проходящий через центр масс, параллельно образующей, будет равен

. (5)

Момент инерции однородного шара с радиусом R относительно оси, проходящей через его центр масс, будет равен

. (6)

Момент инерции однородного куба с ребром a относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно одной из граней, будет равен

(7)

Момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно определить по теореме Штейнера.

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси I (рис.1) превосходит его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс I_c параллельно данной, на величину ml ², т.е.

Рис. 1.

I = I_c + mℓ² (8) Здесь m - масса тела, ℓ - расстояние между параллельными осями.

Лабораторная работа предусматривает проверку теоремы Штейнера и формул, определяющих моменты инерции тел различной формы.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ.

Экспериментальная установка /крутильный маятник/ представлена на рис. 2. Она состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2 с двумя кронштейнами. На нижней части основания имеются опорные винты 3, с помощью которых производится необходимая регулировка. В зажимах 4 и 5 крепятся концы двух отрезков стальной проволоки 6. Другие концы проволоки жестко связаны с прямоугольной рамой 7, которая способна совершать крутильные колебания относительно вертикальной оси. На вертикальных гладких стержнях рамы находится горизонтальная пластинка 8 с винтом 9 для фиксации в раме исследуемых тел. Пластинка может перемещаться вдоль стержней и крепиться в нужном положении гайками 10.

Отклоненную от положения равновесия раму можно удерживать электромагнитом 11. Включение и выключение электромагнита производится тумблером 12.

На основании смонтирован пульт управления, который имеет электронный секундомер 13 и счетчик числа колебаний 14. Включение секундомера и счетчика колебаний производится автоматически с помощью фотодатчика 15 после нажатия кнопки "СБРОС", а выключение - после нажатия кнопки "СТОП".

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.

ЗАДАНИЕ 1. Проверить теорему Штейнера I = I_c + mℓ².

Для проверки теоремы Штейнера исследуют стальной брусок прямоугольного (квадратного) сечения. Размеры бруска L = 2a позволяют представить его в виде сложенных вместе двух однородных кубов с ребром a

Очевидно, что момент инерции бруска относительно продольной оси равен удвоенному моменту инерции куба

I₁ = 2I_c

Здесь I₁ - момент инерции бруска относительно продольной оси, I_c - момент инерции куба относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно одной из его граней.

Момент инерции бруска относительно поперечной оси, проходящей через центр бруска можно рассчитать по теореме Штейнера

I₂ = 2Ic + 2mℓ².

Здесь I₂ - момент инерции бруска относительно поперечной оси, I_c - момент инерции куба относительно оси, проходящей через его центр масс, m - масса куба, ℓ - расстояние между поперечной осью бруска и параллельными ей осями, проходящими через центр масс кубов.

Замечая, что , а для I₁ и I₂ получим