Середня величина – це узагальнюючі показник, які характеризують рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності.
Сукупність, яку ми збираємося характеризувати середньою величиною повинна бути:
1) якісно однорідною, однотипною;
2) складатися з багатьох одиниць.
Існують середні степеневі та середні структурні величини
До середніх степеневих відносять:
а) середня арифметична;
б) середня гармонічна;
в) середня геометрична;
г) середня квадратична і т. д.
До середніх структурних:
а) мода
б) медіана
За первинними, незгрупованими даними обчислюється середня арифметична проста:
Приклад: за місяць страхова компанія виплатила страхове відшкодування за п’ять ушкоджених об’єктів на суму, тис. грн.: 18, 27, 22, 30, 23. Середня сума виплати страхового відшкодування, тис. грн.:
Середня хронологічна обчислюється за слідкуючою формулою:
Приклад: на фірмі залишки обігових коштів на початок кожного місяця І кварталу становили, млн грн.: січень — 70, лютий — 82, березень — 77, квітень — 80. Середньомісячний залишок обігових коштів, млн грн.:
|
|
Середня арифметична зважена обчислюється за формулою:
Приклад: у фірмі працює 20 налагоджувачів аудіо- та відеоапаратури, з них три мають 4-й розряд, дев’ять — 5-й, вісім — 6-й. Середній тарифний розряд
Середня гармонійна проста обчислюється за формулою:
Приклад: припустимо, що придбано товару в двох продавців на одну й ту саму суму — на 1 грн., але за різною ціною: по 3 грн. за 1 кг у першого продавця і по 2 грн. — у другого. Як визначити середню ціну покупки? Середня арифметична (3 + 2): 2 = 2,5 грн. за 1 кг нереальна, оскільки за такою ціною на 2 грн. можна придбати 2: 2,5 = 0,8 кг товару. Насправді придбано товару в першого продавця (1: 3) = 0,33 кг, у другого — (1: 2) = 0,50 кг, тобто разом 0,33 + 0,50 = 0,83 кг, а середня ціна становить 2: 0,83 = 2,4 грн.
За умови, що в першого продавця придбано товару на 150 грн., а в другого — на 300 грн., середня ціна 1 кг, грн.:
Цей розрахунок зроблено за формулою середньої гармонічної зваженої:
,
де Zj = xj fj — обсяг значень ознаки (у нашому прикладі — вартість).
Середня геометрична обчислюється за формулою:
де П — символ добутку; xі — відносні величини динаміки, виражені кратним відношенням j -го значення показника до попереднього (j – 1)-го.
Приклад: внаслідок інфляції споживчі ціни за три роки зросли в 2,7 раза, в тому числі за перший рік у 1,8 раза, за другий — в 1,2, за третій — в 1,25 раза. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,8 + 1,2 + 1,25): 3 = 1,416 не забезпечує визначальної властивості: за три роки за цією середньою ціни зросли б у 1,416 · 1,416 · 1,416 = 2,84, а не в 2,7 раза. Визначальна властивість
|
|
забезпечується лише геометричною середньою:
Перейдемо до показників варіації. Основними показниками варіації є:
- варіаційний розмах R — це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:
R = xmax – xmin.
- середнє лінійне відхилення
;
- середнє квадратичне відхилення
;
- дисперсія (середній квадрат відхилень)
.
- лінійний коефіцієнт варіації
;
- квадратичний коефіцієнт варіації
;
- коефіцієнт осциляції
- .
Існують такі результати реалізації продукції на внутрішньому та зовнішньому ринку (табл. 1.)
Таблиця 1
Результати реалізації продукції на внутрішньому та зовнішньому ринку
Ринки збуту | 2011р. | 2012р. | 2013р. | 2014р. | 2015р. |
Реалізація на внутрішньому ринку | |||||
Дохід від реалізації, грн | |||||
Витрати, грн. | |||||
Прибуток від реалізації, грн | 927753,8 | 984828,2 | |||
Реалізація на зовнішньому ринку (експорт) | |||||
Дохід від реалізації, грн | |||||
Витрати, грн. | |||||
Прибуток від реалізації, грн | 618502,5 | 656552,2 | 681450,7 | 721379,8 | 747730,9 |
З початку розрахуємо дисперсію та розмах варіації:
- внутрішній ринок
;
- зовнішній ринок
На основі дисперсії та розмаху варіації розраховуємо квадратичний коефіцієнт варіації та осциляції:
Коефіцієнт варіації:
- внутрішній ринок
- зовнішній ринок
Коефіцієнт осциляції:
Завдання для роботи на практичному занятті
Завдання №1
Тарифний розряд робітників бригади, яка складається з 8 чоловік становить: 3,4,3,5,4,5,4,4. Знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади.
Завдання №2
Існує такий ряд розподілу робітників за тарифним розрядом.
тарифний розряд робітників | |||||
Кількість робітників | - | - |
Знайти середній тарифний розряд
Завдання №3
На основі приведених даних розрахувати середню гармонійну просту (середні витрати праці)
Номер робітника | |||||
Витрати часу на виготовлення однієї деталі, хв |
Завдання №4
На основі приведених даних розрахувати середню врожайність ячменю (середня гармонійна зважена)
Номер бригади | Урожайність, ц/га | Валовий збір, ц |
22,5 |
Завдання №5
Знайти середній рівень виробітку по підприємству
Середній виробіток товарної продукції на одного робітника, грн | Кількість робітників, чол |
800…1000 | |
1000…1200 | |
1200…1400 | |
1400…1600 | |
1600…1800 | |
1800…2000 |
Рекомендована література
- Єріна А.М., Кальян З.О. Теорія статистики. Практикум. – К.: “Знання”, 2001.- 298 с.
- Общая теория статистики. Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности / Под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. – М.: Финансы и статистика, 2000.- 345 с.
- Попов І.І., Федорченко В.С. Теорія статистики. Практикум: Навч. посіб. – К.: КНЕУ, 2001.- 277 с.
- Лугінін О.Є Статистика. Підручник. 2-е видання, перероблене та доповнене – К.: Центр учбової літератури, 2007.- 539 с.