Определение 5: Кривая в точке М выпукла книзу, если все точки некоторой дуги кривой слева и справа от точки М лежат выше касательной, проведенной к кривой в точке М.
Кривая в точке М вогнута книзу, если все точки некоторой дуги кривой слева и справа от точки М лежат ниже касательной, проведенной к кривой в точке М.
ТП: (достаточные признаки выпуклости и вогнутости кривой в точке):
Пусть кривая является графиком функции у = f (х), а точка М этой кривой имеет абсциссу х0. Если f '' (х0)>0, то кривая в точке М выпукла книзу, а если f '' (х0)<0, то вогнута книзу.
Точка перегиба.
Когда кривая, являющаяся графиком функции у = f (х), выпукла книзу в одних промежутках и вогнута книзу в других, то точка М, отделяющая участок выпуклости кривой книзу от участка вогнутости книзу, называется точкой перегиба.
М; М1 – точки перегиба
Правило нахождения значений х, при которых график функции у = f (х) имеет точки перегиба:
1. Вычислить вторую производную f '' (х) от данной функции у = f (х), график которой исследуем.
|
|
2. Найти те значения х внутри промежутка (а; в), при которых f '' (х) обращается в нуль; пусть это х1, х2,…хк
3. Определить знак второй производной f '' (х) в каждом из промежутков (а; х1), (х1; х2) …(хК; в), для чего достаточно установить знак f '' (х) при каком-нибудь одном значении х в каждом их этих промежутков. Если f '' (х) изменяет знак при переходе через каждую из точек х1, х2…хК, то следовательно график функции имеет точку перегиба при рассматриваемом значении х. Если знак f '' (х) не изменяется, то точки перегиба нет.