Рекомендации к решению задания. Решение систем линейных уравнениЙ

Тема 1. Определители.

Решение систем линейных уравнениЙ

Вопросы для самопроверки

 

1. Перечислите свойства определителей.

2. Какие способы вычисления определителей вы знаете?

3. Сформулируйте правило Крамера.

4. Сформулируйте условие, при котором система линейных уравнений имеет единственное решение, не имеет решений, имеет бесчисленное множество решений.

 

Рекомендации к решению задания

 

Пусть требуется, используя формулы Крамера, решить систему:

Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись следующим правилом вычисления определителей третьего порядка.

.

 

В нашем случае

.

Так как D¹0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскивания вычислим вспомогательные определители D _x, D _y, D _z:

,

,

.

Далее, воспользовавшись формулами Крамера, получим:

, , .

 

Задание 1

Задачи 1–20. Решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами Крамера.

 

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
19.		20.

 

Тема 2. Элементы

Аналитической геометрии на плоскости

Вопросы для самопроверки

1. Напишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости.

2. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом. В чем состоит геометрический смысл углового коэффициента?

3. Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости.

4. Как найти угловой коэффициент прямой, если дано ее общее уравнение?

5. Как вычислить угол между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами?

6. Как найти координаты точек пересечения двух прямых, если даны их уравнения?

Рекомендации к решению задания

Пусть даны координаты вершин DABC: A(1; 3); B(10; 9); C(15; 1). Требуется найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) тангенс угла В; 4) уравнение высоты CD; 5) уравнение медианы AE; 6) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне AB; 7) сделать чертеж.

 

1. Расстояние между точками A(x ₁; y ₁) и B(x ₂; y ₂) определяется по формуле

,

поэтому .

2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x ₁, y ₁) и B(x ₂, y ₂), имеет вид

. (1)

Подставив в уравнение (1) координаты точек A и B, получим уравнение стороны AB:

; 3 y –9= –4 x +4; –4 x –3 y +13=0 (AB).

Решив последнее уравнение относительно y, получим

.

Подставив в уравнение (1) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

y –1=2(x –15); 2 x – y –29=0(BC); y =2 x –29; k _BC=2.

3. Известно, что тангенс угла j между двумя прямыми вычисляется по формуле

. (2)

Искомый угол B образован прямыми AB и BC. Угловые коэффициенты этих прямых соответственно равны , поэтому тангенс угла В будет вычисляться следующим образом:

 

.

 

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

y – y ₁= k (x – x ₁). (3)

Высота CD перпендикулярна стороне AB. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как . Подставив в уравнение (3) координаты точки C и угловой коэффициент высоты CD, получим:

 

(CD).

 

5. Чтобы найти уравнение медианы AE, определим сначала координаты точки E, которая является серединой стороны BC, применяя формулы деления отрезка пополам:

, (4)

.

 

Подставив в уравнение (1) координаты точек A и E, находим уравнение медианы:

 

; ; (AE).

 

6. Так как искомая прямая параллельна стороне AB, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой AB. Подставив в уравнение (3) координаты точки C и угловой коэффициент , получим , 4 x +3 y –63=0 (KF).

7. Сделаем чертеж (рис. 1).

 

 

Задание 2

Задачи 21–40. Даны координаты вершин DABC. Требуется найти: 1) длину стороны AB; 2) уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты; 3) тангенс угла В; 4) уравнение высоты CD; 5) уравнение медианы AE; 6) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно стороне AB; 7) сделать чертеж.

Номер задачи	A	B	C
	(–2; –3)	(0; 7)	(8; 3)
	(5; 4)	(7; 14)	(15; 10)
	(–1; 5)	(1; 15)	(9; 11)
	(0; 3)	(2; 13)	(10; 9)
	(3; 0)	(5; 10)	(13; 6)
	(2; –5)	(4; 5)	(12; 1)
	(–3; –2)	(–1; 8)	(7; 4)
	(4; 1)	(6; 11)	(14; 7)
	(–4; –1)	(–2; 9)	(6; 5)
	(1; 2)	(3; 12)	(11; 8)
	(–8; –3)	(4; –12)	(8; 10)
	(–7; 6)	(2; –6)	(7; 4)
	(–5; 7)	(4; –5)	(9; 5)
	(–3; 5)	(6; –7)	(11; 3)
	(–6; 10)	(3; –2)	(8; 8)
	(–4; 10)	(5; –4)	(10; 6)
	(–8; 9)	(1; –3)	(7; 7)
	(–9; 12)	(0; 0)	(5; 10)
	(–2; 11)	(7; –1)	(12; 9)
	(–1; 4)	(8; –8)	(13; 2)

 

Тема 3. ВЕКТОРЫ.

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется вектором? Запишите его координаты.

2. Какие линейные операции можно выполнять с векторами?

3. Что называется скалярным произведением двух векторов?

4. Дайте определение векторного произведения двух векторов. Запишите формулу вычисления векторного произведения двух векторов, заданных координатами.

5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно заданному вектору.

6. Напишите каноническое уравнение прямой в пространстве.

7. Как найти объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах?