Построение математических моделей систем автоматического управления. Проектирование регуляторов одноконтурных электроприводов

Цель работы: научиться создавать математические модели непрерывных и дискретных систем управления с постоянными параметрами в различных формах представления и записывать их с помощью ППП Control System Toolbox. Освоить методики расчёта ПИД-регулятора скоростного электропривода и ПДД-регулятора серво- электропривода.

Краткие теоретические сведения:

Формы представления математических моделей систем управления Модели динамических систем могут быть эмпирическими, связывающие непосредственно выходные и входные переменные, и в пространстве состояний, использующих переменные состояния как промежуточные между входом и выходом. Переменные состояния обычно отражают внутренние процессы, для описания которых применяются законы физики, механики и других естественных наук. В ППП Control System Toolbox для описания моделей динамических систем введен новый класс объектов - LTI-объекты т.е. линейные, с постоянными параметрами. Control System Toolbox обеспечивает создание структур данных для каждой из моделей, называемых соответственно tf-, zpk- или ss- подклассами класса LTI-объектов. Эти три подкласса могут быть описаны одним типом данных - массивом ячеек, что позволяет манипулировать линейными системами как единым объектом, а не наборами данных в виде векторов или матриц.

Для пользователя zpk-объекты наиболее удобны и наглядны, но ЭВМ ss-объекты считает точнее. Поэтому в MATLAB принята следующая иерархию объектов LTI-класса. Операции, в которых в качестве операндов используются объекты двух или более подклассов, будут иметь результатом:

· объект подкласса ss, если по крайней мере один операнд принадлежит подклассу ss;

· объект подкласса zpk, если отсутствуют операнды подкласса ss и по крайней мере один из операндов принадлежит подклассу zpk;

· объект подкласса tf, если все операнды относятся к подклассу tf.

Tf-объект. Одномерная передаточная функция h(s) = num(s)/den(s) задается многочленом числителя num и многочленом знаменателя den. В системе Matlab многочлены представляются как векторы-строки, составленные из коэффициентов многочлена в порядке убывания степеней переменной. Например, многочлену s²+3s+5 соответствует, вектор [1 3 5]. Если заданы векторы num и den, соответствующие многочленам числителя и знаменателя, то функция h = tf(num, den) создает LTI-модель одномерной системы в виде передаточной функции h(s) = n(s)/d(s). Переменная h является объектом подкласса tf, содержащим данные о числителе и знаменателе передаточной функции.

Zpk-объект. Модели одномерных систем подкласса zpk задаются выражением

где: z z₂, …, z_m -нули системы; р1, р2, …, р - полюсы системы;К - обобщенный коэффициент передачи.

Функция, предназначенная для формирования таких моделей, имеет вид h = zpk(z, р, К), где z и р – векторы из нулей и полюсов, а К - обобщенный коэффициент передачи. Она создает объект h подкласса zpk.

Ss-объект. Для описания динамических систем в пространстве состояний применяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.

Модель непрерывной системы в подклассе ss имеет вид:

dx/dt = Ax + Bu;

y = Cx + Du,

где: х - вектор состояния; u- вектор входа; у - вектор выхода.

Для формирования моделей в подклассе ss предназначена функция sys = ss(A, В, С, D). В результате получаем описание ss-объекта в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Если n-число переменных состояния, р - число входов и m - число выходов, то четверка матриц должна иметь следующие размеры: {А_nхn, В_nхр, C _тxp, D _mхр}-

Для моделей с нулевой матрицей D можно использовать присваивание D=0, как краткую форму записи нулевой матрицы соответствующих размеров.

Дискретные LTI-объекты. Переход, от непрерывной модели Sn к дискретной Sd и обратно с периодом дискретизации Ts производится операторами c2d и d2c:

Если к входным аргументам функций tf, zpk, ss, соответствующим непрерывной модели, добавить период дискретности Ts, то сформируется дискретная модель с совершенно нелепыми параметрами. Т.е. переустановка значения периода дискретности с нулевого на ненулевое значение, характерное для дискретных систем, не влечет за собой осмысленное построение дискретной модели.

Принято, что период дискретности для непрерывной системы равен нулю. Значение Ts = -1 соответствует случаю, когда период дискретности не специфицирован.

Извлечение числовых параметров LTI моделей. Описанные выше функции tf, zpk и ss формируют информацию об используемой модели и периоде дискретности в единый LTI-объект. Извлечь эти данные из описания существующего Iti-объекта позволяют следующие команды:

[num, den, Ts] = tfdata(sys,’v’)

[z, p, k, Ts] = zpkdata(sys,’v’)

[a, b, c, d, Ts] = ssdata(sys)

Выходные аргументы num, den оператора tfdata и z, p, k оператора zpkdata всегда являются массивами ячеек. Они имеют число строк, равное числу выходов, и число столбцов, равное числу входов, а их элементы h_ij определяют передаточную функцию к i-му выходу от j-ro входа.

LTI-объекты включают данные о модели, периоде дискретности, а также могут содержать дополнительную информацию, такую как имена входов и выходов, примечания об истории модели. Различают родовые свойства, которые являются общими для всех трех подклассов объектов (Input Name, Notes, Output Name, Ts, Td) и специфические свойства, которые относятся только к одному подклассу моделей. Каждое свойство задается парой аргументов: свойство (Property Name), значение (Property Value). Значения свойств системы можно определить с помощью команды get.

Существует три способа установки значений свойств объекта:

· при создании LTI-объектов с помощью команд tf, zpk, ss;

· изменение значений свойств существующей LTI-модели командой set;

· присваивание значений элементам структуры.

Узнать информацию о количестве входов и выходов системы можно с помощью функции size(имя системы).

 

Порядок выполнения работы:

1. Подключить к Матлабу командой addpath католог trenag, а также вложенные в него каталоги priv, dvig.

2. Запустить на исполнение файл dv_PID с программой: составления моделей электродвигателя с нагрузкой и силового преобразователя; проектирования ПИД-регулятора для скоростного электропривода; проектирования ПДД-регулятора для серво-электропривода.

3. Составить программу формирования модели электродвигателя в Матлабе по паспортным данным выбранного двигателя постоянного тока.

wн, рад/сек– номинальная угловая скорость вращения ротора двигателя;

Uн, В– номинальное напряжение, приложенное к цепи якоря;

Iн, А– номинальный ток в цепи якоря;

М_Н, Н·м– момент нагрузки на валу двигателя;

Jдв·10^-4, кг·м² – момент инерции двигателя;

Rя, Ом – активное сопротивление в цепи якоря.

Lя, мГн – индуктивность в цепи якоря.

Записать программу расчёта Т_Я, Т_М, С_Е, С_М по приведенным ниже формулам.

Т_Я = L_Я / R_Я – постоянная времени якорной цепи;

Т_М = (R_Я·J) / (С_Е·С_М) – электромеханическая постоянная двигателя;

С_Е = (U_Н–I_Н·R_Я) / w_Н – коэффициент ЭДС двигателя;

С_М = М_Н / I_Н – коэффициент момента двигателя.

Построить схему моделирования двигателя на основе системы дифференциальных уравнений, записанных по закону Ома для якорной цепи и закону Ньютона для вращательного движения:

+

Записать по схеме моделирования уравнения в пространстве состояний:

где - X(t) – вектор состояния,

U(t) – вектор входа,

Y(t) – вектор выхода,

W(t)- вектор возмущающих воздействий,

А (nxn)-матрица состояния, n – количество переменных состояния,

В (nxm)- матрица входа, m – количество входов,

С (rxn)- матрица выхода, r – количество выходов,

D (mxr) – матрица непосредственной связи входов и выходов,

G (nxl) – матрица возмущающих воздействий, l – количество возмущающих воздействий в системе.

Для того чтобы правильно составить схему моделирования, выбираем две переменные состояния X₁и X₂, которые обозначаем:

X₁=I

X₂=

Входным воздействием является напряжение U(t)= U, а в качестве выходных выбираем Y₁(t) = U_Ш, т.е. выход по току, снимаемому на R_Ш = 0,01·R_Я и Y₂(t) = U_TG, т.е. выход по скорости, измеряемой с помощью тахогенератора с К_TG = 5.

М_н рассматриваем в качестве внешнего возмущающего воздействия W(t).

По составленной схеме моделирования записываем уравнения состояния для 1 и 2 и по уравнениям формируем матрицы А, В, С, D.

По полученным матрицам формируем модель системы в ss-форме и записываем ее в программу.

Согласно полученной схеме моделирования и используя формулу:

W_ЗС = ,

где: W_ЗС – передаточная функция замкнутой системы,

W_ПЦ - передаточная функция звеньев прямой цепи,

W_ОС - передаточная функция звеньев в обратной связи,

W_ПЦ W_ОС – передаточная функция разомкнутой системы,

выведем и запишем в программу в виде tf-моделей передаточные функции двигателя по току и по скорости и .

Общая передаточная функция двигателя получается в результате вертикальной конкатенации, т. е. преобразования к следующему виду:

Представить модель двигателя в форме zpk путем преобразования из ss-модели.

Получить путем преобразования c2d дискретные модели двигателя с периодом дискретизации T₁=0,01c и T₂=0,002с.

Обозначить все входы (InputName) и выходы (OutputName) модели, её название в примечании (Notes) и сведения пользователя (UserData) c помощью оператора set или путем явного указания используя имена необходимых свойств.

Сравнить полученные характеристики, сделать выводы.

Контрольные вопросы:

1. Какие преимущества дает принадлежность всех моделей объектов к одному LTI классу?

2. Какие специфические и родовые свойства TF, ZPK и SS моделей вы можете назвать?

3. Какие способы установки свойств объектов вы знаете?

4. Как называются и как формируются матрицы A, B, C, D для SS моделей? Пояснить на примере составления уравнений в пространстве состояний для исследуемого двигателя.

5. Как получить дискретную модель объекта с неспецифицированным периодом дискретизации. Как изменить период дискретизации?

6. Какова иерархия объектов LTI-класса? Почему?

7. Как получить передаточные функции двигателя с выходом по току и по скорости, используя полученную схему моделирования?

8. Как создается схема моделирования на основе дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы?

9. Объясните физический смысл переходных характеристик двигателя с выходом по току и по скорости?

10. Как влияют на характеристики двигателя постоянные времени Тя и Тм? Как они определяются?

11. Как следует выбирать нули и полюсы ПИД-регулятора скоростного электропривода?

12. Какова высота подъёма ЛАХ дифференциальной составляющей ПИД-регулятора?

13. Как расчитать желаемую частоту среза контура скоростного электропривода с ПИД-регулятором?

14. Как следует выбирать нули и полюсы ПДД-регулятора серво-электропривода?

15. Какова высота подъёма ЛАХ дифференциальными составляющими ПДД-регулятора?

16. Как расчитать желаемую частоту среза контура серво-электропривода с ПДД-регулятором?.

 

Приложение1