ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Семестр
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
1. Функции нескольких переменных. Примеры. Линии уровня и поверхности уровня. Частные производные функции нескольких переменных и их геометрический смысл (в случае функции двух переменных). Правила вычисления.
2. Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые условия дифференцируемости функции в точке. Полный дифференциал. Достаточное условие дифференцируемости (без доказательства).
3. Дифференцирование сложной функции. Неявная функция. Теорема о дифференцировании неявной функции. Вычисление производных неявной функции.
4. Скалярное поле. Примеры. Градиент скалярного поля, производная по направлению и ее связь с градиентом. Свойства градиента скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (без доказательства). Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Второй дифференциал функции двух переменных и его знакоопределенность.
|
|
6. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
7. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции нескольких переменных на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
8. Кратные (двойные и тройные) интегралы в декартовой системе координат. Определение, свойства, сведение к повторным интегралам (без доказательства). Вычисление площади и объема.
9. Замена переменных в двойных и тройных интегралах (без доказательства). Якобиан и его геометрический смысл. Двойной интеграл в полярных координатах. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
10. Векторное поле, векторные линии. Поток векторного поля через поверхность, его физический смысл. Свойства потока векторного поля, вычисление потока через часть поверхности.Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл, свойства.
11. Работа и циркуляция векторного поля. Свойства и вычисление. Формула Стокса. Формула Грина. Ротор векторного поля, его физический смысл и свойства.
12. Соленоидальное поле. Векторные трубки. Условие соленоидальности поля. Примеры.Потенциальное поле. Условия потенциальности поля. Примеры.
13. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности, его свойства. Арифметические действия с последовательностями, имеющими предел. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Существование предела у ограниченной монотонной последовательности.
|
|
14. Числовой ряд. Сумма и сходимость ряда. Остаток ряда. Арифметические операции с рядами. Абсолютная и условная сходимость. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки Даламбера, Коши; интегральный признак Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка условно сходящегося ряда. Действия с абсолютно сходящимися рядами.
15. Функциональный ряд. Поточечная и равномерная сходимость. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
16. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование и дифференцирование степенного ряда (без доказательства).
17. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора. Теорема о разложении в ряд Тейлора. Единственность разложения в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.
18. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье, условия его сходимости и свойства суммы. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций, их свойства. Ряды Фурье по косинусам и синусам, условия их сходимости и свойства суммы.
Типовые задачи.
1. Исследовать на сходимость ряд: ; .
2. Найти область сходимости ряда: .
3. Вычислить с точностью 0,01: .
4. С помощью 4 первых членов рядя Тейлора записать приближенное решение задачи Коши , , .
5. Разложить функцию а) в ряд Фурье по косинусам на интервале ; б) в ряд Фурье на интервале и построить график суммы ряда :
6. Разложить в ряд Тейлора по степеням x: .
7.
Изменить порядок интегрирования в декартовых координатах, перейти к полярным координатам:
8. Найти площадь поверхности и объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
9. Найти площадь фигуры, ограниченной данными кривыми:
а)
б)
10. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):
11. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура L:
12. Исследовать соленоидальность и потенциальность векторного поля
13. Найти локальный экстремум функции и составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке экстремума
14. Составить уравнение касательной плоскости в точке и вычислить градиент и производную по направлению к поверхности уровня функции в направлении вектора .