Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

 

Момент инерции. Теорема Штейнера.

Моментом инерции тела (системы) относительно оси вращения Z называется физическая величина, равная сумме моментов инерции всех материальных точек системы, взятых относительно этой же оси, и определяемая суммой произведений масс всех материальных точек тела (системы) на квадраты их расстояний до данной оси:

Момент инерции твердого тела зависит от того, как распределена масса тела относительно интересующей нас оси, и является величиной аддитивной.

Главный момент инерции тела – это момент инерции относительно оси

вращения, проходящей через центр масс тела.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

(расчет момента инерции тела. Т.Штейнера)

Дискр.и непрер.рапсредел.масс.

1)тонкий стерж.φ,масса m равном.распред.

Момент инерц.аддитивен-равен сумме мом.частей тела.

2) тонк.круг.диск R, m относ оси через центр.

– пов.пл.мас.

Колц.слой – геом.место точка,нах.на кот.площ.dS имеют один и тот же момент инерц.относ.оси y.

Т.Штейнера: о-центр масс; r-расст.

 

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение илиF = maτ.

Используя соотношение aτ = βr, получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2. (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2.

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)