Частинка в нескінченно глибокій прямокутній потенціальній ямі

Значення енергії частинки, En в одномірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі

де m – маса частинки; ℓ - ширина потенціальної ями; n – квантове число.

4. Коефіцієнт прозорості D потенціального бар’єра прямокутної форми

де U – висота потенціального бар’єра; m – маса частинки; E – енергія частинки; ℓ - ширина бар’єра.

Всередині ями рівняння Шрьодінгера запишеться як

. (6.22)

Розв’язок цього рівняння, з врахуванням стандартних вимог, зокрема, , має вигляд

, (6.23)

де n=1,2,3,… – квантове число стану частинки. Енергія частинки в різних квантових станах

, (6.24)

тобто приймає не довільні, а дискретні значення Е1, Е2, Е3, …Густина імовірності залежить від координати частинки, при цьому по різному в кожному квантовому стані. Відстань між сусідніми енергетичними рівнями

. (6.25)

Для квантовомеханічної мікро-частинки розв’язок рівняння Шрьодінгера дає, що хвильові функції в усіх трьох областях ( відмінні від нуля, тобто мікрочастинка проникає під бар’єр і за бар’єр. Це явище називається тунелюванням.

 

21. Тунельний ефект

Тунельний ефект — фізичне явище, яке полягає в тому, що фізичний об'єкт долає потенційний бар'єр, велична якого більша від його кінетичної енергії. Найвідомішим прикладом явища є альфа-розпад. Це явище існує завдяки хвильовій природі квантових процесів, але проявляється не лише у квантових системах. Приклади тунелювання можна спостерігання і в оптиці де процеси також описуються хвильовими рівняннями.

Термоядерний синтез можливий лише тоді, коли ядра атомів дейтерію долають кулонівський бар'єр завдяки тунелюванню крізь нього.

Важливими застосуваннями явища тунелювання є резонансний тунельний квантовий діод та тунельний мікроскоп, тунелювання використовується для розрядки елементів флеш пам'яті. Тунелювання світла використовується в методі неповного внутрішнього відбиття та приладах, робота яких базується на ньому.

В квантовій механіці частинки описуються хвильовими функціями, квадрат модуля яких задає густину ймовірності перебування частники в певній точці простору. Хвильові функції є неперервними функціями координат, а тому в області де кінетична енергія частинки менша за потенціальну спадають до нуля поступово. Завжди існує певна ймовірність того, що частинка буде зареєстрована під потенціальним бар'єром. Якщо потенціальний бар'єр має скінченну ширину, то існує відмінна від нуля ймовірність проходження частинки через бар'єр.

У квазікласичному наближенні квантової механіки хвильову функцію для одновимірної задачі можна записати у вигляді

,

де - зведена стала Планка, , E - енергія частинки, m - її маса, V(x) - потенціальна енергія частки, коефіцієтни A, B визначаються значенням хвильової функції в певній точці x ₀.

В області, де E < V(x), квадратний корінь в експоненті має дійсні значення, й один із двох членів у виразі для хвильвої функції наростає, а другий спадає. Доданок із наростанням відповідає хвилі, відбитій від далекої границі бар'єру й зазвичай дуже маленький. У граничному випадку нескінченнного бар'єру він дорівнює нулю. Доданок із спаданням визначає ймовірність просочування квантовомеханічної частинки на глибину x під бар'єр. Зазвичай ця ймовірність невелика й дуже швидко зменшується із збільшенням х.

Коефіцієнт проходження частинки через бар'єр із шириною d у рамках квазікласичного наближення визначається формулою

,

Інтегрування проводиться в області, де V(x) > E.

Таким чином, ймовірність просочування (тунелювання) квантовомеханічної частинки через бар'єр експоненційно залежить від товщини бар'єру. Для того, щоб спостерігати тунелювання бар'єр повинен бути дуже тонким - атомарних розмірів.

Ймовірність тунелювання залежить від величини бар'єру, його форми, а також від маси частинки. Якщо електрони можуть тунелювати через бар'єри товщиною кілька десятих нанометра, то важчі частинки, наприклад, альфа-частинки, тільки через бар'єри із розмірами порядку розмірів ядра. Електрони провідності в напівпровідниках характеризуються ефектривними масами, які можуть бути набато меншими за масу вільних електронів, що дозволяє створювати тунельні діоди із шириною бар'єру в кілька десятків нанометрів.