Банк задач, тестирование официальное 2009 г. 5 страница

1.2 Теперь будем считать, что толщина слоя очень велика. Оцените среднюю длину пробега фотонов в этом веществе.
1.3 Если молекула находится в возбужденном состоянии, то она самопроизвольно переходит в основное состояние с испусканием кванта света. Этот процесс является случайным, подобным радиоактивному распаду. Если число возбужденных молекул равно N_o, то за малый промежуток времени Δt в основное состояние перейдут ΔN = AN_oΔt молекул, где A − постоянный коэффициент, называемый коэффициентом Эйнштейна для спонтанного испускания. Оцените среднее время жизни молекулы в возбужденном состоянии.
1.4 Если молекула находится в возбужденном состоянии, то при ее взаимодействии с квантом света, энергия которого равна разности энергий возбужденного и основного состояний, молекула может испустить квант света, аналогичный исходному. Этот процесс называется вынужденным испусканием. Для такого процесса также определяется сечение вынужденного испускания σ₁. При переходах молекулы между одной и той же парой энергетических уровней сечения поглощения (переход «вверх») и сечение вынужденного испускания (переход «вниз») равны. Определите зависимость пропускания слоя, описанного в пункте 1.1, от плотности падающего потока.

Часть 2. Резонатор.
2.1 Оптический резонатор образован двумя плоскими зеркалами, направленными друг на друга и расположенными на расстоянии L друг от друга. Одно зеркало является идеальным, то есть его коэффициент отражения равен 1. Коэффициент отражения второго зеркала незначительно меньше единицы и равен ρ, поэтому часть излучения выходит из резонатора. Поглощением излучения внутри резонатора и в зеркалах можно пренебречь.

Пусть поток фотонов распространяется внутри резонатора параллельно его оси. Оцените время жизни фотона в резонаторе.

Часть 3. Лазер.
Резонатор, описанный выше, полностью заполнен веществом − раствором, содержащим активные молекулы, концентрация которых равна γ. Раствор непрерывно освещается сбоку световым потоком плотности I_o (плотность накачки).

Частота этого излучения такова, что под его действием молекулы вещества переходят из основного (0) в возбужденное состояние (1). Сечение поглощения молекул при этом переходе равно σ_o. Далее молекулы практически мгновенно переходят в промежуточное состояние (2). Коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода из этого состояния во все нижележащие равен A. При определенных условия возможна генерация излучения, благодаря вынужденным переходам молекул из состояния (2) в промежуточное состояние (3). Сечение испускания этого перехода равно σ₁. Из промежуточного состояния (3) молекула практически мгновенно переходит в основное состояние (0). Генерируемый поток распространяется вдоль оси резонатора. Так как переходы с поглощение и испусканием происходят между различными парами уровней, то излучение накачки не поглощается и не вызывает вынужденного испускания в канале (3) − (2), а излучение генерации не поглощается и не вызывает вынужденного испускания в канале (0) − (1). Концентрация активных молекул достаточно мала, так что длины пробегов фотонов заметно превышают размеры резонатора.

3.1 Определите минимальную плотность потока накачки (пороговое значение), при которой возможна генерация излучения.
3.2 Найдите зависимость интенсивности генерированного излучения лазера после выхода из резонатора, постройте схематический график этой зависимости.

· Следующая задача

1. На поверхность воды падает γ -излучение с длиной волны λ = 0,414 пм. На какой глубине интенсивность излучения уменьшится в 2 раза? [решение]

  2. Однородный шар скатывается без скольжения с плоскости, наклоненной под углом α к горизонту. За какое время он пройдет путь l и какой будет его скорость в конце пути? [решение]

  3. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления, которые происходят по законам x₁ = acosωt, x₂ = acos2ωt. Найти максимальную скорость точки. [решение]

  4. Найти период малых вертикальных колебаний шарика массы m = 40 г, укрепленного на середине горизонтально натянутой струны длины l = 1,0 м. Натяжение струны считать постоянным и равным F = 20 Н. [решение]

  5. Колебания обычного математического маятника изохронны (точнее, приблизительно изохронны) только тогда, когда их амплитуды малы. Гюйгенс задался целью построить маятник, который совершал бы строго изохронные колебания при любых амплитудах. Он показал, что таковым является циклоидальный маятник. Циклоидальный математический маятник представляет собой материальную точку, совершающую колебания, двигаясь под действием силы тяжести по дуге циклоиды. Показать, что колебания циклоидального маятника изохронны, и вывести формулу для его периода. [решение]

  6. Однородный тонкий стержень массой М и длиной L висит на шарнире без трения. В нижней своей части, как показано на рисунке, он связан со стеной посредством пружины, обладающей жесткостью k. Чему равен период колебаний стержня? [решение]

  7. Камень дважды бросают с одной и той же по модулю скоростью. Первый раз на максимальную высоту H = 90 м. Найти в градусах угол, под которым брошен камень во второй раз, если его скорость в верхней точке траектории равна 15 м/с. [решение]

1(РГУНГ 2002). Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через 4 с после начала движения достиг скорости 8 м/с. Какой путь прошел автомобиль за четвертую секунду движения? [решение]

2(РГУНГ 2002). Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 5 м. Найдите полное время полета камня. [решение]

3(РГУНГ 2003). Из окна, расположенного на высоте 20 м от земли, горизонтально брошен камень, упавший на расстоянии 8 м от дома. С какой скоростью был брошен камень? [решение]

4(РГУНГ 2003). За четвертую секунду равноускоренного движения тело проходит путь 4 м и останавливается. Какой путь оно прошло за вторую секунду? [решение]

5(РГУНГ 2003). С высоты 12 м брошен мяч вертикально вверх со скоростью 2 м/с. На какой высоте окажется мяч через 1 с? [решение]

6(РГУНГ 2004). Из некоторой точки горы с углом наклона к горизонту 30° бросают горизонтально мяч с начальной скоростью 30 м/с. На каком расстоянии от точки бросания вдоль наклонной плоскости упадет мяч? [решение]

7(РГУНГ 2005). За две секунды движения тело прошло путь 20 м, при этом его скорость, не меняя направления, увеличилась в 3 раза по сравнению с первоначальной. Каково было ускорение тела? [решение]

8(РГУНГ 2005). Мяч брошен с некоторой высоты вертикально вниз со скоростью 4,5 м/с. Найдите среднюю скорость движения мяча за первые пять секунд движения. Ускорение свободного падения 9,8 м/с². [решение]

9(РГУНГ 2006). Тело брошено горизонтально. Через 3 с после броска угол между направлением полной скорости и направлением полного ускорения стал равным 60°. Определите величину полной скорости тела в этот момент времени. [решение]

10(РГУНГ 2006). Из одной точки одновременно бросают два тела: одно горизонтально со скоростью 6 м/с, а другое – вертикально со скоростью 8 м/с. На каком расстоянии друг от друга будут находиться тела через 2 c? [решение]

11(РГУНГ 2007). Камень, брошенный под углом к горизонту, находился в полете 4 с. Какой наибольшей высоты достиг камень? [решение]

12(РГУНГ 2007). Автомобиль, двигаясь равноускоренно, через 4 с после начала движения достиг скорости 8 м/с. Какой путь прошел автомобиль за четыре секунды движения? [решение]

13(МГИЭТ 2002). Легковой автомобиль движется прямолинейно со скоростью v₁= 72 км/ч за грузовиком, скорость которого v₂= 54 км/ч. Когда расстояние между автомобилями составило L = 15 м, легковой автомобиль начал тормозить с ускорением a = 2,5 м/с² и остановился. Найдите минимальное расстояние L_min между автомобилями при их движении. [решение]

14(МГИЭТ 2002). Две шестерни с радиусами R₁= 8 см и R₂=3 см находятся в зацеплении друг с другом (рис.). Большая из них вращается с угловой скоростью w₁= 20 рад/с. а) Найдите угловую скорость w₂ второй шестерни. б) В некоторый момент времени метки A и B, поставленные на шестернях, совпадают. Определите минимальное время t, через которое метки опять совпадут. [решение]

15(НГУ). Какое расстояние |AB| пролетит мячик, брошенный под углом α к горизонтальной плоскости со скоростью v, если он ударился о потолок? Высота потолка H, удар упругий, трения нет. [решение]

16(МГИЭТ 2004). Два камня брошены из одной точки под различными углами к горизонту со скоростями v₁ и v₂, как показано на рисунке. Во сколько раз отличаются горизонтальные дальности их полета? Сопротивлением воздуха пренебречь. [решение]

17(Ш). Самолет летит горизонтально на высоте H со сверхзвуковой скоростью. Наблюдатель на Земле услышал звук двигателя самолета через время Δt после того, как самолет оказался над ним. Определить скорость самолета v_с, если скорость звука в воздухе v_з. [решение]

18(Ш). С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые импульсы длительности τ_o. Длительность приема отраженного от дна импульса τ. Скорость звука в воде c. С какой скоростью погружается подводная лодка? [решение]

19(Ш). Первую треть пути велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч. Средняя скорость велосипедиста на всём пути равна 25 км/ч. С какой скоростью он ехал оставшуюся часть пути? [решение]

20(Ш). Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями x = Acosωt, y = Asinωt, где A и ω – постоянные. Какова форма траектории точки? [решение]

21(Ш). Найдите радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на l = 3 см ближе к оси колеса. [решение]

  22(Ш). Спортсмен пробегает 100 м за 10 с. Первые 10 м после старта он бежит с постоянным ускорением, остальную часть дистанции с постоянной скоростью. Найти ускорение на первых 10 м и скорость на остальной дистанции. [решение]

  23(А). Кошка бежит за мышкой по окружности радиусом 5 м постоянной скоростью 40 км/ч. Когда расстояние по дуге между ними было равно 1/8 длины окружности, мышка начала убегать со скоростью 50 км/ч. Через какое время мышка удалится от кошки на расстояние, равное половине окружности? [решение]

  24. Два тела начинают одновременно двигаться из начала координат вдоль оси OX. Зависимость проекций скоростей тел от времени представлена на рисунке.

Тела встретятся в момент времени t, равный:
1) 1 с; 2) 2 c; 3) 3 c; 4) 4 c; 5) c. [ решение]

  25(Т). Тело брошено с высоты 20 м с горизонтальной скоростью 10 м/с. Перемещение тела за одну секунду равно … м. [решение]

  26(МГУ). Покоившееся тело падает с высоты H, проходя в последнюю секунду падения третью часть пути. Определить H. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с². [решение]

  27. С высоты H = 30 м свободно падает стальной шарик. При падении он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом 30° к горизонту, и взлетает на высоту h = 15 м над поверхностью Земли. Каково время падения шарика до удара о плиту? Удар шарика считать абсолютно упругим. [решение]

  28. С катера, движущегося по течению реки, упал круг. Через 15 минут после этого катер повернул обратно. Через какое время он снова поравняется с кругом? [решение]

1(РГУНГ 2002). Тело поднимают вверх вдоль наклонной плоскости, прикладывая к нему горизонтальную силу, величина которой вдвое больше действующей на тело силы тяжести. Высота наклонной плоскости 3 м, ее длина 5 м. Найдите ускорение тела, если коэффициент трения равен 0,2. [решение]

2(РГУНГ 2005). В лифте, поднимающемся с ускорением 1,4 м/с², на пружине жесткостью 700 Н/м висит груз массой 0,5 кг. Чему равно (в мм) удлинение пружины? Ускорение свободного падения 9,8 м/с². [решение]

3(РГУНГ 2004). Невесомый стержень вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 30 c⁻¹. На расстояниях 0,4 м и 0,3 м от оси вращения закреплены грузы, имеющие массы 0,2 кг и 0,1 кг соответственно. Какая горизонтальная сила действует на ось вращения, если ось находится между грузами? [решение]

4(РГУНГ 2003). Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Когда цилиндр раскрутили до угловой скорости 20 с⁻¹, цепочка с него соскользнула вниз. Чему равно натяжение цепочки? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1. Принять π = 3,1 4. [решение]

5(РГУНГ 2006). Груз массой 3 кг подвешен к потолку лифта с помощью двух нитей, каждая из которых образует с вертикалью угол 60°. Каким будет натяжение каждой нити, если лифт будет опускаться с ускорением, направленным вниз и равным 2 м/с²? [решение]

6(РГУНГ 2006). К невесомой нити длиной 1 м прикреплен шарик массой 200 г, который равномерно вращается в вертикальной плоскости. При какой минимальной угловой скорости вращения произойдет обрыв нити, если она выдерживает максимальную нагрузку 3,8 Н? [решение]

7(РГУНГ 2007). Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, вращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, с угловой скоростью 5 рад/с. Найдите расстояние (в см) между точкой подвеса и центром окружности. [решение]

8(РГУНГ 2007). Вверх по наклонной плоскости высотой 9 м и длиной 15 м пущена шайба. Коэффициент трения равен 0,5. Найдите ускорение шайбы. В ответе укажите абсолютную величину ускорения. [решение]

9(РГУНГ 2006). Радиус некоторой планеты в √3 раза меньше радиуса Земли, а ускорение силы тяжести на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли? [решение]

10(МГИЭТ 2002). По наклонной плоскости скользит с ускорением a = 1 м/с² брусок массой m = 200 г. С какой силой F нужно прижимать брусок перпендикулярно наклонной плоскости, чтобы он начал двигаться равномерно? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость μ = 0,1. [решение]

11(РГУНГ 2002). Невесомый стержень может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, которая делит стержень в отношении 1:2. На концах стержня закреплены одинаковые грузы массой 0,5 кг каждый. Стержень приводят в горизонтальное положение. С какой силой действует он на ось сразу после этого. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с². [решение]

12(МГИЭТ 2003). К вертикальной железной стене «прилипла» намагниченная шайба. К шайбе привязали легкую нить и тянут за нее так, что нить все время остается параллельной стене. Когда нить тянут вертикально вверх, шайба начинает двигаться при минимальной силе F₁= 1,6 Н; когда нить тянут вертикально вниз, шайба приходит в движение при F₂= 0,6 Н. Найдите массу m шайбы. [решение]

13(НГУ). На конце линейки длины L, лежащей на горизонтальной плоскости, находится маленький грузик. Линейку начинают поднимать за тот же конец с постоянной скоростью u, направленной вверх. Через какое время t грузик начнет соскальзывать? Коэффициент трения между грузиком и линейкой μ. [решение]

14(МГУ). Начальный участок трассы скоростного спуска, расположенный вниз по склону горы с углом наклона α = 45° к горизонту, горнолыжник прошел, не отталкиваясь палками. Какую максимальную скорость мог развить спортсмен на этом участке, если его масса m = 70 кг? Коэффициент трения лыж о снег μ = 0,1, сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости: F = kv², где постоянный коэффициент k = 0,9 кг/м. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с². [решение]

15(МФТИ). Космонавты, высадившиеся на поверхность Марса, измерили период вращения конического маятника (небольшое тело, прикрепленное к нити и движущееся по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью), и он оказался равным T = 3 c. Длина нити l = 1 м. Угол, составляемый нитью с вертикалью, α = 30°. Найдите по эти данным ускорение свободного падения на Марсе. [решение]

16(РГУНГ 2002). Тело массой 1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 2 м. Когда тело при подъеме проходит точку, расположенную на 1 м выше точки подвеса нити, она обрывается. На сколько выше точки подвеса поднимется тело, если натяжение нити перед обрывом было равно 35 Н? [решение]

17(Ш). Вообразим, что строительная техника позволяет возводить сколь угодно высокие сооружения. Какую высоту должна иметь башня, расположенная на экваторе Земли, чтобы тело, находящееся на ее вершине, было невесомым? [решение]

18(Ш). Шайба, скользившая по льду, остановилась через время t = 5 c после удара о клюшку на расстоянии l = 20 м от места удара. Масса шайбы m = 100 г. Определите действовавшую на шайбу силу трения. [решение]

19(Ш). В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля напряженности E, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Чему равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние Y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоянии L, от центра области действия электрической силы. Масса электрона m. [решение]

20(Ш). Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Силы натяжения горизонтальных нитей соответственно T₁ и T₂, а вертикальных T₃, T₄. С каким ускорением тележка движется по горизонтальной плоскости? [решение]

21(П). Кабина лифта массой m = 1000 кг равномерно опускается со скоростью v_o= 1,0 м/с с помощью троса, перекинутого через барабан. Когда кабина опустилась на l = 10 м, барабан заклинило. Найдите максимальную силу упругости T_max, действующую на трос вследствие внезапной остановки лифта. Длина троса в момент остановки равна l = 10 м, площадь поперечного сечения троса S = 20 см², модуль Юнга материала троса E = 2,0 × 10¹¹Па. Ускорение свободного падения g = 10 м/с². [решение]

22. Какой должна быть скорость мотоциклиста (в метрах в секунду), чтобы он мог ездить внутри поверхности вертикального цилиндра по горизонтальному кругу, если при движении по горизонтальной поверхности при том же коэффициенте трения и скорости 18 км/ч минимальный радиус поворота составляет 4,5 м? Радиус вертикального цилиндра 8 м. [решение]

23(T). Если допустить, что Земля движется вокруг Солнца по окружности радиуса 1,5 × 10⁸км с периодом обращения один год, а радиус Солнца 7 × 10⁵ км, то ускорение свободного падения на поверхности Солнца равно … м/с². [решение]

24. Кольцо, изготовленное из однородного резинового жгута длиной l, массой m и жесткостью k, вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью ω. Найдите радиус R вращающегося кольца. [решение]

  25(МГУ). Одина раз камень бросают со скоростью v₁ по горизонтальной поверхности льда, а второй раз − со скоростью v₂ под углом α = 45° к горизонту. В каком случае камню была сообщена большая скорость и во сколько раз, если в обоих случаях перемещение камней оказались равными? Коэффициент трения камня о лед равен μ = 0,02. Сопротивлением воздуха пренебречь и считать, что во втором случае после падения камень не перемещался. [решение]

  26(МГУ). Вверх по наклонной плоскости в направлении ее наиболее крутого подъема пущена шайба. Через некоторое время она остановилась и соскальзывает вниз. Каково отношение времени спуска шайбы t₂ ко времени ее подъема t₁, если коэффициент трения шайбы о плоскость μ = 0,07, а наклон самой плоскости к горизонту α = 60°? [решение]

1(РГУНГ 2002). Санки передвигаются по горизонтальному участку дороги с, помощью веревки, наклоненной под углом 30° к горизонту. Сила натяжения веревки составляет 100 Н. Найдите работу силы натяжения на пути 15 м. Указание: √3 = 1,72. [решение]

2(Ш). Тело массой m = 100 г падает свободно. Определите изменение импульса этого тела за первые две секунды падения. [решение]

3(Ш). Плот массой m₁ свободно скользит по поверхности воды со скоростью v₁. На плот с берега прыгает человек массы m₂. Скорость человека перпендикулярна к скорости плота и равна v₂. Определить скорость v плота с человеком. Силами трения плота о воду пренебречь. [решение]

4(Ш). Вертикально вверх произведен выстрел из пушки. Начальная скорость снаряда v_o. В точке максимального подъема снаряд разорвался на две равные по массе половины. Первая упала вблизи точки выстрела, имея скорость 2v_o. Через какое время после выстрела упадет вторая половина? Какую скорость она будет иметь в момент падения? [решение]

5(Ш). Математический маятник, т. е. небольшой шарик на тонкой нити, массой которого можно пренебречь, первоначально находится в горизонтальном положении. Длина нити маятника l. На расстоянии l/2 под точкой подвеса расположена горизонтальная плита. На какую высоту поднимется шарик после удара о плиту. Удар упругий. [решение]

6(Ш). Призма с массой M и с углом наклона α стоит на гладкой горизонтальной поверхности льда. На призме стоит собака, масса которой m. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх со скоростью v относительно призмы? Трением пренебречь. [решение]

7(Ш). Легкий теннисный мячик ударили ногой, и он полетел в направлении движения ноги. Какую скорость приобрел мячик, если скорость движения ноги при ударе u = 10 м/с. [решение]

8(Ш). Через блок, перекинут шнур, на концах которого закреплены грузы массой M. На высоте h находится кольцо массой m, которое скользит без трения. Через какое время t расстояние между грузами станет h, после свободного падения кольца. [решение]

9(Ш). Человек, имеющий массу M, прыгает под углом α к горизонту со скоростью v_o. В верхней точке траектории он бросает со скоростью v₁ вертикально вниз груз массой m. На какую общую высоту H подпрыгнул человек? [решение]

10(Ш). Ядро, летевшее в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, разорвалось на два осколка массами 10 кг и 5 кг. Скорость меньшего осколка равна 90 м/с и направлена вертикально вверх. Определить модуль и направление скорости большего осколка. [решение]

11(Ш). Массивная плита движется с постоянной скоростью u_o в положительном направлении оси X, выбранной неподвижной системы отсчета (ось X перпендикулярна к плите). Шарик массы m движется со скоростью v_o в направлении, указанном на рисунке. Определить величину и направление скорости шарика v после удара о плиту, если удар абсолютно упругий. [решение]

12(Ш). Из неподвижной лодки массой 140 кг под углом 30° к горизонту со скоростью 5 м/с прыгает человек массой 70 кг. На какое расстояние сместится лодка, если сила сопротивления воды 30 Н? [решение]

13(Ш). На тросе висит небольшой ящик с песком, в котором застревает поток пуль, летящих горизонтально со скоростью v. При этом трос отклоняется на угол α от вертикали. Масса пули m много меньше массы ящика M (m << M). Сколько пуль в единицу времени попадает в ящик? [решение]

14(Ш). Пять одинаковых по размеру шариков, центры которых лежат на одной прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от друга. Масса каждого следующего шарика в два раза меньше массы предыдущего. В первый (самый массивный) шар попадает еще один шар, масса которого в два раза больше, чем у первого, а скорость, имеющая направление вдоль прямой, соединяющей шары, равны v_o= 10 м/с. Определите скорость последнего шара, считая соударения абсолютно упругими. [решение]