2.1 Оптимальный приём двоичных сигналов. Постановка задачи
Важным показателем систем связи является помехоустойчивость, т.е. способность системы связи противостоять вредному влиянию помех.
При рассмотрении вопросов передачи и приёма двоичных последовательностей полагают, что источник дискретных сообщений вырабатывает на своём выходе последовательность двух элементов (символов) – единицы и нуля с соответствующими вероятностями их появления p (1)и p (0).
Для их передачи используют два различных сигнала S 1(t) и S 2(t), длительность каждого из которых равна длительности элемента последовательности Т.
На вход приёмного устройства поступает смесь переданного сигнала и помехи, т. е.
Z (t) = Si (t) + x (t).
В курсовой работе рассматривается канал с постоянными параметрами и аддитивной помехой типа гауссовского белого шума. Такие (гауссовские) каналы являются достаточно хорошей моделью многих реальных каналов передачи цифровой информации, в частности, кабельных, оптических, радиорелейных, космических и других.
|
|
Для количественной оценки влияния помех и других факторов, вызывающих отличие принятой последовательности от переданной, вводится критерий оценки качества принятой информации. При передаче дискретных сообщений за такой критерий принимают вероятность ошибки приёма одного элемента двоичной последовательности.
Приёмник, в результате анализа принятой конкретной реализации Z (t) на интервале времени 0 £ t £ T, должен установить, какой из возможных сигналов Si (t) (S 1(t) или S 2(t)) присутствует на его входе, и в соответствии с этим принять решение о приеме символа 1 или 0. Это классическая задача теории связи – задача различения двух сигналов. В случае, когда один из сигналов тождественно равен нулю (например, ДАМ), имеем задачу обнаружения сигнала в интервале времени 0 £ t £ T на фоне помех.
Для различения сигналов в приёмнике необходимо (с допустимой погрешностью) устанавливать начало и конец интервала анализа каждой реализации Z (t), поступающей на вход приёмника. Такая задача решается устройством синхронизации, которое позволяет определять начало и окончание каждого элемента сигнала (сообщения) в принятой последовательности.
Алгоритм различения двух и более сигналов на фоне белого гауссовского шума имеет ясный физический смысл: наиболее вероятным переданным сигналом считается тот сигнал, который меньше отличается (в среднеквадратичном смысле) от принятого сигнала. Таким образом, оптимальный приемник минимизирует среднюю вероятность ошибки. В аналитической форме алгоритм оптимального приёмника при равновероятных сигналах имеет вид
|
|
Если , то Z (t) º S 1(t), иначе S 2(t), (2.1)
т.е. решение принимается в пользу сигнала S 1(t).
При этом считается, что все параметры сигнала в точке приёма известны, т. е. известны его форма, амплитуда, частота, задержка во времени и начальная фаза (приём полностью известных сигналов). Неизвестным в этом случае является только то, какой из возможных сигналов передаётся на данном интервале
наблюдения 0 £ t £ T.
Выражение (2.1) позволяет представить алгоритм в виде структурной схемы оптимального приёмника, т. е. решить задачу оптимального синтеза.
Для передачи элементов двоичного кода (0 или 1) обычно используются сигналы с дискретной амплитудной модуляцией (ДАМ), частотной модуляцией (ДЧМ) и фазовой модуляцией (ДФМ или ДОФМ). Для конкретного вида используемых сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ алгоритм оптимального приёмника и соответствующая ему структурная схема получаются на основании общего алгоритма (2.1), при этом оптимальный приёмник должен вычислять значение функции взаимной корреляции вида
. (2.2)
Для этого используется или коррелятор, или согласованный фильтр, которые обеспечивают одинаковую помехоустойчивость, т. е. эквивалентны.
В процессе передачи элементы кода искажаются помехами, причем, наблюдаются ошибки двоякого рода:
1 При передаче элемента 0 может быть ошибочно принят элемент 1, вероятность такого события (перехода 0®1) обозначим через p (1/0) — вероятность приема 1 при передаче 0.
2 При передаче элемента 1 может быть ошибочно принят элемент 0, вероятность такого события (перехода 1®0) обозначим через p (0/1) — вероятность приема 0 при передаче 1.
Средняя вероятность ошибки определяется по формуле
p ош = p (0)× p (1/0) + p (1)× p (0/1). (2.3)
В дальнейшем будем считать, что априорные вероятности передачи элементов кода равны, то есть p (0) = p (1) = 0,5, при этом
p ош = 0,5[ p (1/0) + p (0/1)]. (2.4)
Помеху в канале связи будем считать флуктуационной с нормальным законом распределения мгновенных значений
w (x) = . (2.5)
Вероятность ошибки зависит: от вида модуляции, способа детектирования (когерентный, некогерентный), способа фильтрации сигналов в приёмнике (оптимальный фильтр, неоптимальный фильтр), мощности P с (энергии E с) сигнала, мощности P п (спектральной плотности N 0) помехи.
Если в приёмнике используется неоптимальный фильтр, вероятность ошибки зависит от величины отношения мощности сигнала к мощности помехи (отношение сигнал/шум по мощности) h 2 = P с / P п.
При использовании в приёмнике оптимального фильтра вероятность ошибки определяется величиной отношения энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности помехи h 02 = E с / N 0 = P с T с/ N 0.
В приёмнике с оптимальным фильтром отношение сигнал/шум больше, чем в приёмнике с неоптимальным фильтром и, соответственно, помехоустойчивость выше.
Приёмник с оптимальным фильтром и когерентным способом приёма обеспечивает потенциальную помехоустойчивость для заданного вида модуляции.
Помехоустойчивость приема сигналов ДАМ, ДЧМ, ДФМ, ДОФМ в указанных выше условиях можно определить, вычисляя среднюю вероятность ошибки следующим образом.
2.2 Дискретная амплитудная модуляция
Элементами сигналов ДАМ являются посылки (кодовый элемент «1») и паузы (кодовый элемент «0»)
0 £ t £ T,
где Т – длительность элемента сигнала.
Некогерентный прием
Прием сигнала ДАМ в этом случае осуществляется путем сравнения уровня сигнала после амплитудного детектора (детектора огибающей) с некоторым пороговым уровнем U п решающей схемы приемника (рис. 2). Ошибки возникают в случаях:
1 При передаче посылки огибающая суммы сигнала и помехи (E сп) оказывается меньше порогового уровня U п (переход 1®0).
|
|
2 При передаче паузы огибающая помехи E п оказывается больше U п (переход 0®1).
Вероятности этих событий определяются через соответствующие распределения значений огибающих (рис. 3,а и рис 3,б)
, (2.6)
где w(E сп ) – плотность распределения огибающей суммы сигнала и помехи, которая, как известно, определяется обобщенным законом Релея (Релея-Райса),
,
w(E п ) – плотность распределения огибающей помехи, определяется простым законом Релея.
.
Средняя вероятность ошибки с учетом (2.4) и (2.6) равна
p ошАМнкг = 0,5 . (2.7)
Значение p ош зависит от порогового уровня U п решающей схемы. Можно показать, что вероятность ошибки минимальна, когда U п (при a 2 » s2), т.е в этом случае U п имеет оптимальное значение. При этом окончательно получаем
p ошАМнкг , (2.8)
где – отношение мощностей сигнала и помехи (отношение сигнал / шум), а
Ф (z)
– табулированный интеграл вероятностей.
Зависимость p ош = f (h) при некогерентном приеме показана на рис. 5 (кривая 1).
Если h 2 » 1, то
p ош.АМ нкг» . (2.9)
Максимальная помехоустойчивость при приеме сигналов ДАМ наблюдается в том случае, если применяется оптимальная фильтрация сигналов. В этом случае необходимо в ф-ле (2.9) вместо подставить , равное
, (2.10)
где – энергия элемента сигнала,
N 0 – спектральная плотность мощности помехи.
Когерентный прием
При когерентном приеме применяется синхронный детектор, который устраняет влияние ортогональной составляющей вектора помехи (рис. 2). Составляющая x=E п · cosj имеет нормальный закон распределения и мощность . Поэтому вероятность искажения посылки р (0/1) и вероятность искажения паузы р (1/0) будут равны (рис. 4)
и ,
где w(x / a) и w(x)- плотности распределения вероятностей мгновенных значений сигналов на выходе детектора при приёме посылки и паузы соответственно
и .
Средняя вероятность ошибки будет равна
p ошАМкг = 0,5 .
При оптимальном значении порогового уровня решающей схемы , вероятность ошибки минимальна и равна
p ошАМкг = , (2.11)
где – отношение сигнал / шум.
|
|
Зависимость p ошАМ = f (h) при когерентном приёме показана на рис. 6 (кривая 2).
При когерентном приеме достигается потенциальная помехоустойчивость, если в приемнике осуществить оптимальную фильтрацию сигнала. При этом достигается максимальное отношение сигнал /шум
,
и в ф-ле (2.11) h заменяется на h 0.