1. Для того щоб матриця Гессе Н (х*) була позитивно визначеною і стаціонарна точка х* була точкою локального мінімуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів були строго додатні:
>0, >0, …., >0.
2. Для того щоб матриця Гессе Н (х*) була негативно певної і стаціонарна точка х* була точкою максимуму, необхідно і достатньо, щоб знаки кутових мінорів чергувалися, починаючи з негативного
<0, >0,…,(-1)n >0.
Приклад 1. Дослідити функцію f () = x 13 – 2 x 1 x 2 + x 23 на опуклість (вгнутість). Знайдемо частинні похідні:
Запишемо матрицю Н та обчислимо головні мінори.
Якщо x 1 > 0 i x 2 > , то функція f () = x 13 – 2 x 1 x 2 + x 23 опукла. Якщо x 1 < 0 i x 2 > , то функція строго вгнута, бо визначник першого порядку від’ємний, а визначник другого порядку – додатний.
Приклад 2.
Знайти екстремум функції на множені R2:
1. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку
З системи рівнянь знаходимо стаціонарну точку .
Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму другого порядку.
|
|
Матриця Гессе в точці х* має вигляд .
Оскільки то достатні умови екстремуму не виконуються. Необхідні додаткові дослідження.
Задача 1
Знайти екстремуми функції:
1.1. Z = 2х2 + ху + у2 + х – у + 1;
1.2. Z = х12 + х22, при умові х1 + х2 = 5;
1.3. Ціни за одиницю кожної з послуг становлять відповідно 10 і 20 гр. од. Капітал споживача – 1700 гр. од. Необхідно оптимально розділити капітал між цими послугами, якщо індивідуальна функція споживача має вигляд:
f (х1, х2) = 2 ;
1.4. Z = х12 - х22 при умові 3х1 + 4х2 = 12;
1.5. Z = 2х12 + 3х22 + х32, при умові х1 + х2 + х3 = 8;
1.6. Z = х1 х2, при умові х1 + х2 = 1.