Функція зветься узагальненою функцією Лагранжа, числа – множники Лагранжа.
Класична функція Лагранжа має вигляд .
Градиєнтами узагальненої та класичної функцій Лагранжа по х є вектор-стовпець з частинними похідними першого порядку
, .
Другим диференціалом узагальненої та класичної функцій Лагранжа є
, .
Першим диференціалом обмежень gj(x) є функція
.
Результати досліджень локальних екстремумів в точці х* приводимо у таблиці 1.
Таблиця 1.
№ | Тип умовно-стаціонарної точки х* | ||
>0 | 0, | Умовний локальний мінімум | |
<0 | 0, | Умовний локальний максимум | |
≥0 | Може бути умовний локальний мінімум. Необхідні додаткові дослідження. | ||
≤0 | Може бути умовний локальний максимум. Необхідні додаткові дослідження. | ||
= | Необхідні додаткові дослідження. | ||
>0, <0 | Екстремуму немає. |
Приклад 1.
Знайти умовний екстремум функції за методом множників Лагранжа :
1. Перевіряємо умову регулярності. Так як для усіх точок , то умова регулярності виконується. Тому, скористаємося класичною функцією Лагранжа.
2. Скаладаємо функцію Лагранжа .
3. Записуємо необхідні умови екстремуму першого порядку 3.1. 3.2. .
4. Рішенням системи є дві точки умовного екстремуму .
5. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці А , <0, при . Тому в точці А маємо умовний локальний максимум.
6. Перевіряємо достатні умови екстремуму в точці В , >0, при . Тому в точці В маємо умовний локальний мінімум.
Задача 1
Визначити умовний екстремум функції за методом множників Лагранжа:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.