Из передаточной функции (4) звена W(p) = k/p определяем:
(31)
Согласно формуле получим также:
. (32)
Частотные характеристики представлены на рис. 13, из которого следует, что
а) АФХ звена W(jω) при изменении ω от 0 до ∞ совпадает с отрицательной мнимой полуосью (рис. 13,а);
б) при всех частотах выходные колебания отстают по фазе от входных на угол 90° (рис. 13,в);
в) АЧХ представляет собой гиперболу, т.е. чем меньше частота входного сигнала,тем больше этот сигнал
усиливается звеном.
При ω = 0 коэффициент усиления равен бесконечности и наоборот, при ω = ∞ коэффициент усиления звена равен нулю (рис. 13,б).
Рис. 13. Частотные характеристики интегрирующего
Логарифмируя W(ω) в (31), получим:
. (33)
Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую линию, пересекающую при k = 1 ось абсцисс в точке ω = 1 и имеющую наклон к оси абсцисс 20 дб/дек. При k ≠ 1 ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат на величину 201gk (рис. 14,а).
Логарифмическая фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна -π/2 (рис. 14,б). На рис. 14 на оси абсцисс для сравнения указаны значения как ω, так и lgω, а также нанесена координатная сетка частот.
|
|
Рис. 14. Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена.
1.8.3. Частотные характеристики апериодического звена
Из передаточной функции звена W (р) = [формула (10)] находим его АФХ:
. (34)
Вещественная и мнимая частотные характеристики
и . (35)
Согласно уравнениям и АЧХ и ФЧХ имеют вид:
; (36)
. (37)
Задаваясь различными значениями ω, можно по выражениям (34) построить АФХ звена. Однако в данном случае можно из этих же двух уравнений алгебраически получить на плоскости U, jV уравнение кривой W(jω) в явной форме как функцию.
Складывая выражения (35), получим:
.
Возведя в квадрат левую и правую части равенства, найдем;
,
откуда
.
Прибавляя к обеим частям этого равенства слагаемое (k/2)2, получаем:
. (38)
Из полученного уравнения следует, что АФХ имеет вид окружности (рис. 15,а) с радиусом k/2, центр которой расположен на положительной вещественной полуоси в точке с координатами (k/2; 0). Окружность касается мнимой оси в начале координат. Изменениям ω от 0 до +∞ соответствует полуокружность, расположенная в четвертом квадранте, а изменениям ω от 0 до - ∞ - полуокружность в первом квадранте.
На рис. 15,б и в представлены также амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики звена. Из графиков частотных характеристик видно, что усиление звена по амплитуде при увеличении частоты уменьшается. Это уменьшение тем резче, чем больше постоянная времени.
Рис. 15. Частотные характеристики апериодического звена.
|
|
С ростом частоты увеличивается также фазовый сдвиг выходных колебаний по отношению к входным. Фазо-частотная характеристика звена отрицательна, следовательно, выходные колебания по фазе отстают от входных. При одной и той же частоте фазовый сдвиг тем больше, чем больше постоянная времени звена. При небольших частотах (ω ≈ 0) апериодическое звено ведет себя как усилительное звено с коэффициентом усиления k. При больших частотах выходная величина по модулю стремится к нулю, а ее фаза φ(ω) - к значению -π/2.
При ω = 1/T фаза φ(ω) = -π/4, a W(ω) = .
Логарифмируя выражение (36), найдем:
. (39)
Из выражения (39) следует, что приизменений коэффициента усиления звена ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат, не меняя своей формы. При изменении частоты от 0 до ∞ при ω << 1/T ЛАЧХ можно аппроксимировать горизонтальной прямой L(ω) = 201gk, а при ω>>1/T - прямой L(ω) = 20lgk–20lgωT, имеющей наклон - 20 дб/дек.
Действительно, например, при ω1, ЛАЧХ равна L(ω1) = 20lgk – 20lgω1T, а при ω2 = 10ω1 получаем L(ω2)=20Igk - 20lg10ω1T. Найдем уменьшение ЛАЧХ на декаду:
дб/дек.
Следовательно, ЛАЧХ может быть приближенно представлена двумя вышеуказанными прямыми (асимптотами), сопрягающимися друг с другом при частоте ω1 = l/Т. Эту частоту принято называть сопрягающей. При представлении фактической ЛАЧХ приближенной (рис. 16,а) максимальная ошибка будет на сопрягающей частоте
дб.
Логарифмическая фазово-частотная характеристика, построенная в полулогарифмическом масштабе по выражению (37), представляет собой кососимметричную линию (рис. 16,б). На интервале частот 0,1/Т< ω < 10/Т ЛФЧХ можно аппроксимировать прямой с наклоном - 45°/дек, проходящую через точку с координатами [ φ(ω) = 45°; ωТ = 1 дб ]. При этом следует отметить, что при такой аппроксимации ошибка является существенной (до 6°), в связи с чем она не всегда допустима.
Рис. 16. Логарифмические частотные характеристики апериодического звена