Некоторые свойства функций, непрерывных в точке

1 2 3 4

Лекция №15

Непрерывность функции

x₀

f(x₀)

f()

y=f(x)

Пусть

определена в точке

и ее окрестности. Если

получит приращение

и примет значение

, то функция

получит приращение

приращение функции,

где приращение аргумента.

def. 1. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее окрестности и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

(1)

Описательно: функция непрерывна, если она изменяется постепенно, т.е. малые изменения аргумента влекут за собой малые изменения функции. графиком является плавная, нигде не прерываемая линия.

Преобразуем (1):

или , ( ).

def. 2. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее окрестности и если предел функции при существует и равен значению функции в точке , т.е.

. (2)

Итак, функция называется непрерывной в точке , если выполняются 3 условия:

1) f(x) определена в точке и ее окрестности;

2) существует конечный ;

3) .

Говорить о непрерывности функции можно лишь по отношению к тем точкам, в которых функция определена.

Некоторые свойства функций, непрерывных в точке

Пусть непрерывна в точке . Тогда справедливы следующие свойства.

1. Правило предельного перехода .

Символ предела и символ непрерывной функции можно переставлять между собой.

Вывод. Для того, чтобы найти предел при непрерывной в точке функции нужно в выражении функции вместо аргумента x подставить предельное значение .

Пример.

2. или ,

где функция f(x) непрерывна точке .

3. Сохранение знака непрерывной с точке функции для значений функции, близких к .

Если непрерывная в точке функция f(x) имеет в точке положительное (отрицательное) значение, то она остается положительной (отрицательной) во всех точках некоторой окрестности точки .

окрестности точки ;

окрестности точки .

4. Операции над непрерывными функциями.

Если функции и определены на промежутке Х и непрерывны в точке , то в этой точке будут непрерывны функции (причем ).

def. Функция непрерывна на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Разрывы функции

Условия непрерывности функции в точке :

1) определена в точке и ее окрестности;

def. Если в точке для функции f(x) не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности, то функция в точке терпитразрыв, а точка называется точкой разрыва функции.

Таким образом, если