В сколько- нибудь сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.
Поэтому в подобной ситуации проще получить приближенное решение, например, энергетическим методом.
Рассмотрим стержень центрально сжатый силой Р. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опертым, но вопрос о граничных
условиях пока оставим открытым. Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Q, то стержень изогнется, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии.
Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении , которое можно найти следующим образом.
Укорочение малого элемента длиной будет равно
Учтем, что , тогда
Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня
Здесь учтено, что
Изменение полной энергии при малом изгибе будет
Если , то стержень устойчив, если же ,т.е. , то сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он неустойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то или
|
|
, откуда
Для получения значения критической силы необходимо задать-
ся формой изогнутой оси. Функцию надо подбирать таким
образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям. Примеры.
СОДЕРЖАНИЕ