Сила тяжiння I вага тiла. Поняття про невагомiсть

ВСЕСВІТНЄ ТЯЖIННЯ

 

1.ЗАКОНИ КЕПЛЕРА І ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ.

Обробляючи результати багаторічних спостережень датського астронома Тихо Браге, Iоган Кеплер емпірично встановив три закони руху планет:

1). Кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

2). Радіус - вектор планети за рiвнi проміжки часу описує однакові площi.

3). Квадрати перiодiв обертання планет відносяться як куби великих півосей еліптичних орбіт, по яким вони рухаються навколо Сонця.

(5.1)

 

Аналіз законів Кеплера привів Ньютона до відкриття законувсесвітнього тяжіння:

Два точкових тіла притягуються одне до одного з силами, прямо пропорційними добутку їх мас і обернено пропорційними квадрату відстані між ними.

,

або

(5.2)

 

Вказані сили називають гравітаційними або силами всесвітньоготяжіння. За сучасними уявленнями, взаємодія тіл здійснюється з допомогою гравітаційного поля, оточує всі матеріальні тіла.

Для обчислення сил взаємодiї не точкових тiл необхiдно розбити їх на частини, якi можна вважати матеріальними точками, розрахувати сили взаємодiї цих частин, а потім ці сили геометрично додати. В основі цього обчислення лежить принцип суперпозиції гравiтацiйних полів:

Гравiтацiйне поле, що збуджується якою-небудь масою, зовсім не залежить вiд наявності інших мас. Гравiтацiйне поле, створене декількома тілами, дорівнює геометричній сумі гравiтацiйних полiв, збуджених кожним з цих тiл.

Принцип суперпозиції є узагальненням досліду. Користуючись ним, можна довести, що двi однорiднi кулi притягуються мiж собою так, як нібито їх маси зосереджені в їх центрах.

Коефіцієнт пропорцiональностi в (5.2) називається гравiтацiйною сталою; вона дорівнює : Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі, з якою притягуються два точкових тіла масами по 1 кг, розташовані на відстані 1 м один від одного.

Як бачимо, гравiтацiйна стала досить мала. Тому i сили гравiтацiйної взаємодiї мiж звичайними тілами надзвичайно малi. Вперше виміряти силу взаємодії між звичайними тілами на Землі зумів англійський фізик Г.Кавендiш в 1798р. Прилад Кавендiша (див.рис.5.1) складався з легкого горизонтального стержня, на кінцях якого були закрiпленi двi однакові свинцеві кульки масою . Стержень пiдвiшувався на тонкій пружній нитці ab. До середини стержня прикріплювалось маленьке дзеркало s. Поблизу кульок розміщувались двi великі свинцеві кулі масами M спочатку в положеннi AA, потім в положенні ВВ. Завдяки гравiтацiйнiй взаємодiї кульок m i M стержень повертався на якийсь кут , що вимірювався за зміщенням променя

 

 

 

світла, відбитого від дзеркала S. Знаючи пружні властивості нитки, можна було визначити силу взаємодії кульок i обчислити значення гравiтацiйної сталої. Кавендiш одержав гарне, як на той час, значення:

.

 

Всі закони Кеплера можна одержати iз закону всесвітнього тяжіння Ньютона та законів збереження енергії i моменту iмпульсу (див. далi), якщо врахувати взаємодію планет лише iз Сонцем. Маса Сонця бiльш нiж в 700 раз перевищує загальну масу планет i всiх iнших тiл сонячної системи, тому Сонце є основним тiлом, що керує рухом планет. Проте кожна планета зазнає гравiтацiйного притягання також з боку iнших планет Сонячної системи; тому закони Кеплера є наближеними законами.

З закону всесвітнього тяжіння випливає, що гравiтацiйна сила пропорційна масі тiла, на яке вона дiє. Проте маса - це міра iнертностi тiла i з другого закону Ньютона вона може бути визначена так:

 

(5.3)

 

Цю масу назвали інертною масою.

З закону всесвітнього тяжіння масу тiла можна визначити, вимірюючи силу притягання його до Землi:

 

(5.4)

 

Цю масу називають гравітаційною масою. Вона є кiлькicною мірою гравітаційної взаємодії тiл.

Дослiди показали, що iнертнi маси всiх тiл в межах досягнутої точності вимірювань пропорційні їх гравiтацiйним масам. (Один з таких дослідів - перевірка незмінності прискорення вiльного падiння для всiх тiл). Тому значення інертної i гравітаційної мас можна прирівняти одну одній i в подальших міркуваннях говорити про масу, не вказуючи, про яку з них йде мова.

 

2. ПОЛЕ ТЯЖIННЯ ТА ЙОГО ХАРАКТЕРИСТИКИ.

 

Гравiтацiйне поле, а також iншi поля - електричне, магнітне, які будуть вивчатись далi, є різновидом силових полiв:на частинки, вміщенні в них, дiють сили, прямо пропорційні певній фiзичнiй властивості цих частинок: масі, заряду i т.iн. Виявити гравiтацiйне поле, яке створює тiло масою М, можна за його дією на точкове тiло малої маси (так зване пробне тiло).

Для кількісної характеристики даної точки гравiтацiйного поля вводять величину, що дорівнює відношенню сили, яка дiє на пробне тiло, до маси цього тiла; цю величину називають напруженістюгравiтацiйного поля:

(5.5)

 

Використавши (5.2), одержимо:

 

(5.6)

 

Напруженість не залежить вiд маси пробного тiла i направлена до центра, в якому розташоване джерело гравiтацiйного поля. Такі поля називають центральними.

Якщо напруженість гравiтацiйного поля однакова в усіх його точках (G=const), то таке поле називають однорідним.

Гравiтацiйна сила, з якою Земля дiє на тiло масою m, надає йому прискорення вiльного падiння . За другим законом Ньютона:

 

(5.7)

Згiдно (5.5): , тобто напруженiсть гравiтацiйного поля Землi дорівнює прискоренню вiльного падiння.

Використавши (5.6), одержимо:

 

,,

(5.8)

 

де , - маса Землi, - її радіус, - висота над поверхнею Землi.

Зображати гравiтацiйнi поля можна з допомогою лiнiй напруженості: так називають лiнiю, дотична до якої в будь-якiй точцi співпадає з вектором напруженості в даній точцi. Напрям лiнiй напруженості співпадає з напрямом вектора напруженості. Приклади зображень гравiтацiйних полiв за допомогою лiнiй напруженості наведено на рис. 5.2 i 5.3. Лінії поля, що утворене площиною, яка перетинається з площиною малюнка по лінії АА, зображено на рис. 5.4. На відстанях, малих порівняно з довжиною і шириною поверхні, напруженість поля однакова в усіх точках (ця область виділена на рисунку штриховою лінією); таке поле називають однорідним. В однорідному полi лінії напруженості паралельні i розташовані на однаковій вiдстанi одна вiд одної.

 

Рис. 5.3.

Гравітаційне поле двох однакових
точкових мас

 

 

В невеликих об'ємах поблизу поверхнi Землi гравітаційне поле можна вважати однорідним:

Якщо поле створюється декількома точковими джерелами, то, згідно принципу суперпозиції, напруженість цього поля дорівнює геометричній сумі напруженостей полiв, що їх створює кожне з джерел:

(5.9)

 

Для знаходження гравiтацiйного поля не точкових тiл треба розбити їх на частини, якi можна вважати матеріальними точками, i застосувати до цих частин принцип суперпозиції.

Крім векторної характеристики поля - напруженості, вводиться скалярна характеристика поля, яка називається потенціалом.

Потенціалом даної точки гравiтацiйного поля називають вiдношення роботи переносу пробного тiла масою з даної точки в нескiнченнiсть до маси цього тiла:

 

(5.10)

 

Детальний розгляд цієї характеристики буде зроблено в наступнiй лекції.

 

СИЛА ТЯЖIННЯ I ВАГА ТIЛА. ПОНЯТТЯ ПРО НЕВАГОМIСТЬ.

 

Розглянемо тiло масою , нерухоме відносно Землі (рис. 5.5).

 

 

На нього дiють сила гравітаційної взаємодії ,модуль якої дорівнює та сила реакції опори . Оскільки тіло обертається разом з Землею то рiвнодiйна сил i повинна дати cилу , модуль якої і яка направлена до вiсi обертання (т. О'). Звiдси випливає, що реакцiя опори має бути направлена не вздовж радiуса Землі. Аналогiчна картина буде i у випадку тiла, пiдвiшеного на нитцi (мал.5.6): сила натягу (i сама нитка) буде направлена не вздовж радiуса. Напрям дiї сил i називають вертикальним напрямом.

Саме за напрямком дiї сили натягу визначають напрямок дiї сили тяжiння: . Тому прискорення вiльного падiння i сила тяжiння змінюється зі змiною широти мiсцевостi. (Зауважимо, що в (5.8) ми нехтували обертанням Землi). Рiзниця мiж i дорівнює нулю на полюсах i максимальна на екваторi, де вона дорівнює . Проте, оскільки кутова швидкість обертання Землі мала , то і різниця між і незначна і в більшості задач вона не враховується. Навіть для екватора , якщо кг; це приблизно дорівнює 0,3% від ;тому .

Вагою тiла називається сила, з якою це тiло дiє на пiдставку, на якiй воно лежить або тягне за пiдвiс, до якого воно пiдвiшене. При цьому мається на увазi, що тiло, пiдставка i пiдвiс нерухомi в тiй СВ, в якiйвідбувається зважування.

Коли говорять про вагу тiла, не вказуючи СВ, то звичайно вважають, що тiло, пiдставка i пiдвiс нерухомi вiдносно Землi. Згiдно означення ваги тiла i третього закону Ньютона вага чисельно дорівнює силi реакції опори або силi натягу нитки :

, або .

Розглянемо три випадки знаходження ваги тiла.

1). Тіло нерухоме відносно Землі (див. рис. 5.7).

За другим законом Ньютона:

,

звiдки:

і

(5.11)

 

2). Тіло рухається відносно Землі з прискоренням , направленим вгору (рис. 5.8), його рівняння руху:

Спроектувавши на вiсь ОY, матимемо , звiдки:

 

і

(5.12)

 

Вага тiла в цьому випадку бiльша, нiж сила тяжiння. Цей випадок називають перевантаженням.

3). Тіло рухається відносно Землі з прискоренням , направле-ним вниз (рис. 5.9); його рівняння руху:

Спроектувавши на вiсь ОY:

 

, звiдки:

 

i

(5.13)

 

Вага тiла менша, нiж сила тяжiння. Якщо , то i ; цей стан називається невагомicтю. Отже, тiло, що вiльно падає в гравiтацiйному полi (під дією лише сили тяжiння) по будь-якiй траєкторiї i в будь-якому напрямку, перебуває в станi невагомостi.

4. КОСМIЧНI ШВИДКОСТI.

Розглянемо рух штучних супутникiв Землi (ШСЗ) − так називають тiла, що, подiбно до Мiсяця, обертаються навколо Землi по елiптичним орбiтам. Надамо тiлу, що мiститься в точцi А на невеликiй висотi над поверхнею Землi, деяку швидкiсть , перпендикулярну радіусу Землi. Якщо v мала, то тiло, рухаючись по дузi елiпса, впаде на Землю (рис. 5.10). При малих i дуга елiпса практично співпадає з параболою, про яку говорилось, коли розглядався рух тiла, кинутого горизонтально. При збiльшеннi швидкостi далекiсть польоту зростає i при деякому значеннi тiло вже не впаде на Землю, а облетить її, тобто стане ШСЗ.

Для колової орбiти рівняння руху має вид:

 

 

звiдки

(5.14)

 

 

Якщо , то, враховуючи (5.8), одержимо:

(5.15)

 

(5.15) називається першою космiчною швидкiстю, вона дорiвнює .

Другою космічною швидкістю називають найменшу швидкiсть, яку необхiдно надати тiлу, щоб воно подолало притягання Землi i стало супутником Сонця (штучною планетою). Числове значення цієї швидкостi: .

Знаходження другої космічної швидкості буде розглянуто в наступній лекції.