Р |
Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов’язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.
Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі.
Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події
і позначають
, (2)
(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).
4.5. Приклади основних законів розподілу:
а) дискретних випадкових величин:
1. біномний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення із ймовірностями
.
Функція розподілу . Очевидно, що =0 при і =1 при .
2. розподіл Пуассона: випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром ( пр), якщо вона приймає значення із ймовірностями , причому дуже мале, а дуже велике число.
|
|
Функція розподілу .
3. геометричний розподіл:
Нехай проводиться серія незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з’явитися з
деякою ймовірністю р. Досліди продовжуються до першої появи події А, після чого дослід припиняється.
Нехай випадкова величина Х – кількість проведених дослідів до першої появи події А.
Можливі значення величини Х: . Подія означає, що в перших дослідах подія А не наступила, а в -му досліді наступила. Ймовірність дорівнює
.
Отже закон розподілу величини Х є таким
Х | … | n | … | |||
Р | p | qp | … | … |
Цей розподіл називається геометричним.
Очевидно, що ,
як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Функція розподілу . =0 при
б) неперервних випадкових величин.
4. рівномірний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою рівномірно на інтервалі , якщо її щільність розподілу стала на цьому інтервалі
Використовуючи властивість щільності розподілу, знайдемо :
.
Легко бачити, що для .
для , для
5. показниковий розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за показниковим (експоненційним) законом з параметром , якщо її щільність розподілу
Використовуючи формулу (6) , отримаємо вираз для функції розподілу
.
6. нормальний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами і , якщо її щільність розподілу
, .
Функція розподілу має вигляд .
|
|
Якщо зробити заміну
то ,
де - функція Лапласа.
;
якщо то ,
але
.
Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу , обчислюється за формулою
= .