Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному. Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у векторно-матричному вигляді . Робиться невироджене перетворення , де вектор - нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд або . Для довільної матриці завжди існує неособлива матриця , що приводить її до жорданової форми, тобто , де - жорданова форма матриці . І система диференціальних рівнянь прийме вигляд . Складемо характеристичне рівняння матриці : , або . Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд . І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь .
Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо . Або в матричному вигляді
де . Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв’язати матричне рівняння або , де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді , то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до , . Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.
|
|
2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд ,
а перетворена система диференціальних рівнянь Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд
Або в матричному вигляді Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок де
3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид
І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми
. . Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд .
Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо . Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто . Загальний розв’язок однорідного має вигляд .
Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді ,
де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо .
Звідси і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд .
Піднявшись ще на один крок нагору одержимо . Продовжуючи процес далі, маємо . Або у векторно - матричному вигляді
|
|
. Додавши першу підсистему, одержимо
,
Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв’язок матричного рівняння .
5.Представлення розв’язку лінійних неоднорідних систем за допомогою формули Коши. Лінійні неоднорідні системи
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
У векторній формі
;
називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.