Розглянемо лінійну стаціонарну систему диференціальних рівнянь на площині
Побудуємо якісну картинку наведеного розв‘язку в залежності від параметрів системи (побудування фазового портрету). При розв‘язку системи складаємо характеристичне рівняння
I. Нехай . Тоді корені характеристичного рівняння
1) Нехай –дійсні, різні, одного знаку
a) . Розв‘язок має вигляд:
де – власні вектори. При :
, або
Траекторія має вигляд прямої. І оскільки
, то рух по ній при .
Аналогічно при :
, або
І оскільки , то при .
Траекторії між цими прямими мають вигляд “парабол” і оскільки , то рух направлен до початку координат. Точка рівноваги називається “стійким вузлом”.
б) Нехай .
Оскільки при заміні все залишиться,
як і в попередньому випадку, то фазовий
портрет цієї системи відрізняється від попереднього
лише напрямом руху. Тобто
. Степінь рівноваги назвемо
“нестійким вузлом”.
2) Нехай , дійсні, різних знаків.
Загальний розв‘язок
При c1=0 маємо І рух іде по прямій y=(b2/b1)x. При c2=0 маємо
|
|
Всі інші траєкторії мають
вигл. “гіпербол”, розташованих
між цими прямими. Рух по траєктор.
збіг. до до однієї прямої і розбіг. від
іншої. Стан рівноваги наз “сідлом”, а прямі відповідно стійкою і постійною сепаратрисами. 3) Нехай корені комплексні l1,2=p±iq Розв. має вигл.
а) Нехай p<0 Тоді x(t)®0 y(t)®0 при t® µ при чому траєкторії мають вигл. спіралей, що “накручуються” на поч. корд. Стан рівноваги наз “стійким фокусом”.
б) Нехай p>0 траєкторія зберіг. такий же вигл. але рух іде у протил. напр. Стан рівноваги наз “нестійким фокусом”.
4. Нехай λ1,2=±iq. Розв’язок має вигляд:
Траєкторії мають вигляд замкнених кривих. Рух по них
періодичний .Стан рівноваги називається
”центром”.
5. Нехай корені кратні, l1=l2=l. Можливі 2 випадки:
1)Матриця Жордана має вигляд . Тоді розвязок має вигляд x(t)=C1elt, y(t)= C2elt,або .
а)Якщо l<0,то стан рівноваги називається стійким дикритичим вузлом.
б)Якщо l>0,то нестійкий дикритичний вузол.
2)Якщо клітина Жордана ,то .Інтегральні криві мають вигляд “парабол”,що злиплись однією стороною.
а) Якщо l<0,то стан рівноваги називається стійким виродженим вузлом.
б) Якщо a >0,то стан рівноваги наз. нестійким ви-
дженим вузлом.
ІІ Нехай D=ad-bc=0. Тоді характеристичне рівняння
має вигляд:l2 –(a+d)l=0.
l1=0 l2=a+d.
1) Нехай l1=0, l2= a+d ¹ 0. Загальний розв’язок
x(t)=C1a1el1t +C2b1
y(t)= C1a2el2t +C2b2
Система xْ =ax+by
yْ=cx+dy може бути переписана
Оскільки , то строки пропорційні і (cx+dy)=α(ax+by),звідки
Оскільки на прямій ax+by=0 , то це пряма сталих точок.
А на сім’ї прямих y=αx+C рух йде за законом x(t)=C1a1elt,y(t)= C2a2elt
a) якщо l<0,то особлива пряма—стійка.
|
|
b) якщо l>0,то особлива пряма нестійка.
2)Нехай l1=l2=0, тоді особлива пряма ax+by=0 співпадає з однією з сім’ї y=αx+C,тобто
з y=αx.
СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ В R .
Розглянемо систему лінійних неоднорідних диференційних рівнянь .Нехай -
розв’язок,що досліджується на стійкість.
ТЕОРЕМА.
Дослідження стійкості довільного розв’язку лінійної неоднорідної системи еквівалентна дослідженню стійкості нульового розв’язку .відповідної однорідної системи
ДОВЕДЕННЯ:
Зробимо заміну ,де - нова невідома функція.Одержимо .
Поскільки -розв’язок,то .І залишиться однорідна система .Як видно
з вигляду заміни розв’язку відповідає
ЗАУВАЖЕННЯ
На стійкість довільного розв’язку впливає лише матриця ! І всі розв’язки лінійних неодно-
рідних систем одночасно або стійкі або нестійкі,в залежності від стійкості нульового розв’язку одно-
рідної системи.
Таким чином (на відміну від нелінійних систем) справедливе визначення.
ВИЗНАЧЕННЯ
Лінійна система називається стійкою (асимптотично стійкою) якщо є стійкими (асимптотично стійки- ми) всі її розв’язки.
Розглянемо лінійні системи з сталими коефіцієнтами .Умови стійкості для цих систем мають
найбільш конструктивний вигляд.При дослідженні складається характеристичне рівняння det(
- )=0,або .Нехай , власні числа матриці ,тобто коре-
ні характеристичного рівняння.
ТЕОРЕМА
1.Щоб лінійна стаціонарна система була асимптотично стійкою необхідно і достатньо,щоб <0, .
2.Щоб лінійна стаціонарна система була стійкою за Ляпуновим необхідно і достатньо,щоб
Причому з нульовою дійсною частиною мали прості елементарні дільники,або клітка
Жордана складалася з одного елементу.
3.Якщо існує хоч один корінь ,то система нестійка.
ДОВЕДЕН якщо λ1= λ2=... λn= λ кратні корені.
Звідси видно, що при Re λi (А)<0 то незал. від кратності |x(t)|→0, t→+∞.
Якщо Re λi (A)=0 то комплексні корені стійкості не заважають.але потрібна відсутність многочлена(t).це забезпечуеться простотою елемент. дільн.►
Таким чином,при досліджені стійкості розкрив. хар. рів.det(A- λE)=0 і дослідж. корені λi(А).
Як виплив з теор корені можна не знати,досить визначити значен дійсної частини Re λi (A).
Існують алгебраічні та частотні критерії.
Нех. хар. рів. має вигляд:
λⁿ +p1λⁿֿ¹+p2 λⁿֿ ²+...+pn-1λ+pn=0 Матриця виглядає:
│ p1 1 0 0 …0│
Г= │ p3 p2 p1 1… 0│ - матриця Гурвіца, де рi=0 якщо і>n.
│......... …. …… │
│ p2n-1 p2n-2 ……… pn│