Системой счисления (с.с.) называется способ представления чисел посредством цифровых знаков.
В качестве цифровых знаков используются арабские и римские цифры.
Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Примером непозиционных с.с. может служить римская или латинская с.с. Она включает в себя следующие цифровые обозначения: 1 – I; 2-II; 3-III; 4-IV; 5-V; 10-X;…; 50-L; 100-C; 500 - D; 1000-M и т.д.
Пример 3. Записать числа 114; 155; 1999 римскими цифрами:
114 — CXIV; 155 — CLV; 1999 — MCMXCIX.
В виду сложности не нашла своего применения в математике.
В позиционной с.с. с основанием p числа представляются в виде последовательности цифровых знаков:
N=(anan-1an-2… a2a1 a0, a-1 a-2 a-3)p
Основание системы счисления – это количество цифр используемых для формирования данной системы счисления.
В зависимости от основания системы счисления различают:
· десятичную с.с. (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);
· двоичную с.с. (0, 1);
· восьмеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);
· шестнадцатеричную (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
В этих системах значение цифры определяется местом (позицией), где она стоит в числе
Пример 4. 6321(10) = 6 3 2 1 = 6*103+3*102+2*10+1
каждую позицию цифры в числе принято оценивать «весом» показателем степени системы счисления. В первой справа позиции размещаются единицы (для целого числа), в соседней с ней второй позиции – десятки, в третьей – сотни, в четвертой - тысячи и т.д. Дробная часть десятичного числа находится справа от десятичной точки, используемой для отделения целой части числа от дробной. Каждая позиция справа от десятичной точки имеет свой вес (10-1, 10-2 и т.д).
В любой позиционной с.с. число может быть записано через полином (многочлен):
ат-1Р т-1+ат-гР m-1+...+а1Р -1+а0Р 0+а-1Р -1+а-2Р -2+...+a-sP -s, (1)
где нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
• положительные значения индексов — для целой части числа (т разрядов);
• отрицательные значения — для дробной (s разрядов).
Пример 5. 237,71(10) = 2*102+3*101+7*100+7*10-1+1*10-2
Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1.
Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные, в том числе и на соотношении (1).
Пример 6. 101110,101(2)=1•25+0•24+1•23+1•22+1•21+0•20+1•2-1+0•2-2+1•2-3=
46,625(10),
т.е. двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625. При записи числа в десятичной системе счисления каждая позиция занята десятичной цифрой. Аналогично при записи двоичного числа каждая позиция занята двоичной цифрой, называемой битом. Часто используется термин – наименьший значащий бит (крайний справа) и наибольший значащий бит (крайний слева).