Решение типовых задач

Задача 1. Испытывается каждый из 15 элементов некото­рого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Решение. По условию, n = 15, p = 0,9, q = 0,1. Найдем наивероятнейшее число k₀ из двойного неравенства .

Подставив данные задачи, получим:

, или .

Так как k₀ – целое число и поскольку между числами 13,4 и 14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число k₀ = 14.

Задача 2. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение. По условию, n = 24; p = 0,6; q = 0,4. Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойного неравенства . Подставляя данные задачи, получим:

, или .

Так как np – q = 14 – целое число, то наивероятнейших чисел два k₀ = 14 и k₀ + 1 = 15.

Задачи.

4.39. Отдел технического контроля проверяет партию из 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, кото­рые будут признаны стандартными.

4.40. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,1.

4.41. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.

4.42. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго—0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в ми­шень, если стрелки произведут 25 залпов.

4.43. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,8, а для второго — 0,6. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелка попадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.

4.44. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

4.45. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,3. Найти число испы­таний п, при котором наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях будет равно 30.

4.46. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний п, при котором наивероятнейшее число появлений события равно 20.

4.47. Чему равна вероятность р наступления события
в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероят­нейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30?

4.48. Чему равна вероятность р наступления события
в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

4.49. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий; б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) ве­роятность того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы двух попаданий.

4.50. Прибор состоит из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа элемента в момент вклю­чения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность от­каза прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы четыре элемента.