Коническое сечение имеет фокус и директрису. У эллипса и гиперболы есть ещё один фокус и директриса. Действительно, пусть коническое сечение – эллипс:
. (1)
В каноническом расположении его директриса параллельна оси у, а фокус расположен на оси х. Такой эллипс симметричен, в частности, относительно оси у, поэтому у него есть фокус и директриса , симметричные фокусу и директрисе .
Аналогичным рассуждением устанавливается существование 2-х фокусов и двух директрис у гиперболы
. (2)
Теорема. Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов постоянна, т.е. не зависит от точки.
Теорема. Разность расстояний от произвольной точки гиперболы до ее фокусов постоянна.
Пусть c – расстояние от центра эллипса (1) до фокусов. Сумма расстояний от вершины (o, b) до фокусов равна . Сумма расстояний от вершины (а, о) до фокусов равна 2а. Эти суммы должны быть равны =2а, , . (3).
Следовательно, для эллипса . (3 ´)
Пусть с – расстояние от центра гиперболы (2) до фокусов.
Для гиперболы справедливо другое соотношение , (4)
|
|
откуда
. (4´)