Смешанным произведением трёх векторов называется число . (1)
Если один из векторов равен нуль-вектору, то смешанное произведение равно нулю.
Теорема. Смешанное произведение ненулевых векторов , непараллельных одной плоскости, равно по абсолютной величинеобъёму V парллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах.
Действительно,
(2)
где S - площадь основания, построенного на векторах , а - единичный вектор, перпендикулярный основанию и образующий с векторами правую тройку.
Подставим выражение векторного произведения (2) в определение(1):
() =
где h – высота параллелепипеда, знак «+» соответствует правой тройке векторов , а левой – знак «-».
Значит, V = ± ().
Теорема.
В самом деле, т. е. правая и левая части равенства (3) равны по абсолютной величине и по знаку, т. к. правая тройка, точнее, той же ориентации, что и тройка .
Из определения (1) и свойства (3) следует, что при перестановке местами любых двух сомножителей смешанного произведения () оно меняет знак. В частности, если два сомножителя равны, то смешанное произведение равно нулю.
|
|
Вообще же, обращение смешанного произведения в нуль означает компланарность векторов .