Методические рекомендации студентам

При изучении дисциплины студент должен:

• добросовестно посещать лекции и вести конспект, отражающий основное содержание курса;
• перед очередной лекцией повторять содержание предыдущей по конспекту или рекомендованной учебной литературе;
• посещать практические занятия и выполнять все домашние задания;
• выполнять проверочные и контрольные работы и индивидуальные задания.

В случае необходимости студент может обращаться за помощью преподавателя непосредственно на занятиях или на консультациях, которые проводятся по графику.

Учебным планом предусмотрена самостоятельная работа студентов в объёме 38 часов в первом семестре.

Эта работа предполагает повторение лекционного материала по конспектам или рекомендованной учебной литературе, подготовка к практическим занятиям, подготовка к самостоятельным и контрольным работам, а также самостоятельное изучение отдельных вопросов дисциплины по учебной литературе и углублённую проработку некоторых тем, изложенных в лекциях. Основными учебными пособиями для такой работы являются [1], [2],[4],[5], а также может использоваться литература из дополнительного списка.

Дополнительно учебным планом предусмотрено 36 часов в первом семестре для подготовки к экзамену.

Рекомендуемые теоретические задачи для самостоятельной работы

Тема 1. Составление параметрических уравнений некоторых замечательных кривых [1],[2],[6].

Тема 2. Вывод формулы для площади треугольника по известным уравнениям его сторон [1],[2],[6].

Тема 3. Вывод уравнения кривой второго порядка с заданными фокусом, директрисой и эксцентриситетом. Вывод уравнения гиперболы с произвольно заданными асимптотами [1],[2],[6].

Тема 4. Вывод вычислительной формулы двойного векторного произведения [1],[2],[6].

Тема 5. Доказательство пересечения прямых в тетраэдре: 1) соединяющих середины противоположных ребер; 2) проходящих через вершины тетраэдра и центры тяжести противоположных граней [1],[2],[6].

Тема 6. Исследование прямой как геометрического места точек: 1) равноудаленных от трех попарно непараллельных плоскостей; 2) ревноудаленных от трех точек, не лежащих на одной прямой [1],[2],[6].

Тема 7. Исследование вытянутого и сжатого эллипсоидов вращения как геометрического места точек [1],[2],[6].

 

ГЛОССАРИЙ

Вектор – упорядоченная пара точек, направленный отрезок.

Векторное произведение неколлинеарных векторов – вектор, перпендикулярный плоскости перемножаемых векторов, длина которого равна площади параллелограмма и ориентированный по отношению к векторам-сомножителям так же, как базисный вектор к векторам и .

Гармоническая четверка точек – четверка точек на прямой, сложное отношение любых пар из них равно минус единице.

Гипербола – множество точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (фокусов) есть величина постоянная.

Главные направления – направления, которые сопряжены относительно кривой (поверхности) второго порядка и ортогональны.

Группа преобразований – совокупность преобразований пространства М, удовлетворяющая двум признакам подгруппы:

1)

2) .

Инвариант кривой (поверхности) второго порядка – функция от коэффициентов кривой (поверхности), сохраняющая своё значение при любой замене декартовой системы координат.

Квадрика – поверхность второго порядка.

Коника – кривая второго порядка.

Несобственная точка прямой – новый элемент на прямой, соответствующий предельному положению точки М(х) при , т.е. значению простого отношения трех точек на прямой.

Парабола – множество точек на плоскости, равноудаленных от точки (фокуса) и прямой (директрисы) этой плоскости.

Полюс прямой (плоскости) – точка, для которой прямая (плоскость) является полярой.

Поляра точки М – множество точек плоскости (пространства) полярно сопряженных точке М относительно кривой (поверхности) второго порядка.

Полярная форма от квадратичной формы - билинейная форма .

Полярно-сопряженные точки относительно кривой (поверхности) второго порядка - билинейная форма от квадратичной формы уравнения кривой (поверхности) в однородных координатах.

Полярно-сопряженные точки относительно кривой (поверхности) второго порядка – две точки, однородные координаты которых обращают в нуль полярную форму.

Проективная прямая (плоскость, пространство) – фактор- множество всех ненулевых радиус-векторов плоскости (пространства, четырехмерного пространства) по отношению коллинеарности векторов.

Расширенная евклидова прямая (плоскость, пространство) – прямая (плоскость, пространство), дополненная несобственной точкой (дополненные несобственными точками всех прямых плоскости, пространства).

Скалярное произведение векторов - произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Смешанное произведение некомпланарных векторов – скалярное произведение первого вектора на векторное произведение двух других.

Сопряженные направления относительно кривой (поверхности) второго порядка – направления, координаты которых обращают в нуль полярную форму от ассоциированной квадратичной формы уравнения кривой (поверхности).

Характеристическое уравнение кривой (поверхности) второго порядка - уравнение , где - инварианты кривой (поверхности).

Центр кривой (поверхности) второго порядка – это центр её симметрии.

Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (фокусов) есть величина постоянная и большая расстояния между фокусами.