1. А + В = В + А (коммутативность).
2. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность).
3. А + О = О + А = А.
Определение 12. Произведением матрицы на число l называется матрица В
тех же размеров, что и матрица А, причем bij = lаij " i, j.
Пример 6. 3×
Свойства умножения матрицы на число
1. l(m A) = (lm) A (ассоциативность).
2. l(A + B) = l A + l B (дистрибутивность).
3. (l + m) A = l A + m A (дистрибутивность).
Пример 7. 2
Определение 13. Произведением двух матриц А и В называется матрица С,
у которой элемент сij равен сумме произведений каждого
элемента i –й строки матрицы А на соответствующие
элементы j –го столбца матрицы В
ci j = (i = 1,2, …,m; j = 1,2, …, n).
Замечание 1. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.
А m´k × B k´n = C m´n.
Замечание 2. Произведением двух квадратных матриц А и В одинакового размера является квадратная матрица С того же размера.
Пример 8. Найти произведение АВ, если А = и В =
Решение. АВ =
= .
Свойства умножения матриц
1. (АВ) С = А (ВС) (ассоциативность).
2. (А + В) С = АС + ВС (дистрибутивность).
3. АВ ¹ ВА (вообще говоря) – отсутвие коммутативности.
4. АО = О; ОА = О.
5. АЕ = А; ЕА = А.
Определение 14. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА называются
коммутирующими (или перестановочными).