Во многих областях науки и техники, например, электро- и радиотехнике, механике, экономике, в теории кодирования и обработки сигналов широко используется понятие «собственное значение» и «собственный вектор».
Определение 25. Число l называется собственным значением, а ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, задающей линейное преобразование, если они связаны между собой соотношением
Ах = l х Û (А -l Е) х = О. (8)
Это матричное уравнение задает систему однородных линейных уравнений:
, (9)
которая имеет ненулевое решение в том случае, когда ее определитель | А -l Е | равен нулю.
Определение 26. Характеристическим уравнением квадратной матрицы А называется уравнение
| А -l Е | = 0.
Пример 24. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
преобразования с матрицей А = .
Решение. Составим характеристическое уравнение | А -l Е | = 0 Þ
(7 -l)[(5 -l)(6 -l) - 4] + 2 × (-2)(5 -l) =
= -l3 + 18l2- 99l + 162 = 0 Þ (l-3)(l- 15l + 54) = (l- 3)(l- 6)(l- 9) = 0.
|
|
Таким образом нашли собственные значения линейного преобразования с матрицей А, равные: l1 = 3, l2 = 6, l3 = 9.
Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению
l1=3. Подставим l = 3 в систему (9) и получим .
С помощью элементарных преобразований получим систему, эквивалентную
данной , ранг которой r = 2. Так как число неизвестных в
системе n = 3 > r = 2, то в качестве базисных выберем переменные х1 и х2, а свободной переменной будет х3. Полагая х3= 2 t, где t – произвольное число, из последней системы найдем: х2 = 2 t, х1 = t.
Таким образом собственному значению l1 = 3 соответствует собственный
вектор Х 1 = . Аналогично, собственным значениям l2 = 6 и l3 = 9 соответствуют собственные векторы Х 2 = и Х 3 = .