12.1. Метод скользящей средней
В основу метода скользящей средней (МА ─ moving average) для исключения флуктуаций временного ряда заложен следующий принцип: Если индивидуальный разброс члена ряда вокруг среднего сглаженного значения характеризуется дисперсией , то разброс среднего из n членов ряда вокруг того же значения будет характеризоваться меньшей дисперсией . Снижение дисперсии объясняется сглаживанием траектории ряда.
Для реализации метода МА выбирают определенную (как правило, нечетную) длину усреднения ,измеренную в числе следующих подряд членов ряда, подлежащего исследованию. При этом должно соблюдаться условие . Сглаженную функцию временного ряда вычисляют по значениям по следующей формуле: , где , а
─ некоторые положительные веса, сумма которых равна единице. Часто выбирают для всех значений k.
Рассмотрим пример (см. рис. 12.1). Пусть
I I I I I I I I I I I I I I I I
(2) I • I
(3) I • I
(4) I • I
рис. 12.1
Число членов сглаженного ряда . Эту величину называют порядком преобразования по методу МА ─ .
|
|
12.2. Регрессионная модель и метод конечных разностей
Кроме метода МА для аналитического сглаживания флуктуирующего временного ряда используют также классический МНК, то есть строят однофакторную регрессионную модель с объясняющей переменной t и метод конечных разностей. Последний метод основан на том, что вычисление конечных разностей различных порядков для выражений в дискретном времени аналогично многократному дифференцированию выражений в непрерывном времени. Очевидно, что многократное дифференцирование приводит к устранению сначала ─ постоянной составляющей, затем ─ скорости, далее ─ ускорения и так далее. Конечные разности вычисляются так:
12.3. Стационарные и нестационарные временные ряды
Создание модели, адекватно описывающей поведение остатков анализируемого ряда , проводят обычно в рамках класса стационарных временных рядов. Ряд называют строго стационарным, если совместное распределение вероятностей наблюдений
и наблюдений одинаково для любых m,
Таким образом, свойства строго стационарного ряда не изменяются при изменении начала отсчета времени и числа наблюдений.
В частности, при строгая стационарность ряда обуславливает то, что закон распределения вероятностей случайной величины не зависит от t; следовательно, от t не зависят и основные числовые характеристики ряда: среднее значение и дисперсия .
Ряд называют слабо стационарным, если его среднее значение и дисперсия не зависят от t, но не более того. Строго стационарный ряд одновременно слабо стационарен, но не наоборот. Для стационарных рядов характерно монотонное убывание автокорреляционной функции.
|
|
Нестационарным называют ряд, отличающийся от стационарного на неслучайную, зависящую от t составляющую.
При строгой стационарности совместные двумерные распределения пар совпадают и зависят только от . Ковариация будет зависеть только от временного сдвига .
12.4. Преобразования ARMA и ARIMA
Сочетание авторегрессионного преобразования и скользящей средней называют ARMA─моделью (ARMA─autoregression & moving average model). Модель имеет вид:
где ─ независимые друг от друга нормально распределенные случайные величины с нулевым матожиданием и постоянной дисперсией.
Преобразование ARMA в сочетании с переходом от объемных величин к приростным называется ARIMA─преобразованием или ARIMA ─ моделью (autoregression & integrated moving average model). Эту модель также называют моделью Бокса─Дженкинса. В некоторых случаях такое преобразование позволяет получить более точную и явную модель зависимости. ARIMA─модель обычно используют для описания временных рядов со следующими свойствами: ряд аддитивно включает составляющую , имеющую вид полинома от t; ряд, полученный из исходного ряда после применения к нему метода конечных разностей k раз, может быть описан моделью
.
Таким образом, модель может быть записана в виде:
Величины представляют собой конечные разности порядка k переменной
.