Классификация эконометрических моделей.
1. По содержанию все модели можно разделить на следующие группы:
- аналитические модели, изучающие зависимость значений зависимых переменных от различных факторов;
- прогнозные модели, позволяющие предсказать изменение зависимой переменной во времени.
2. По количеству объясняющих переменных все модели делятся на:
- парные (однофакторные) регрессионные модели, в которых используется только одна независимая переменная;
- множественные (многофакторные) регрессионные модели, использующие две и более независимых переменных.
3. В зависимости от формы связи между переменными модели могут быть
- линейными;
- нелинейными.
Наибольшее распространение в эконометрическом анализе получили линейные модели ввиду их простоты. Многие нелинейные модели путем несложных преобразований могут быть сведены к линейным.
4. По используемым данным:
- пространственные модели, построенные на основе данных, относящихся к одному периоду времени, но к разным объектам;
|
|
- временные модели, построенные по данным для одного объекта за разные периоды времени;
- пространственно-временные модели, объединяющие оба вышеприведенных варианта.
5. По количеству уравнений (и количеству объясняемых переменных):
- одномерные, описывающие поведение одной зависимой переменной;
- многомерные, моделирующие поведение двух и более зависимых переменных.
6. По характеристикам взаимосвязи зависимой и независимой переменных:
- причинно-следственные модели, где независимая переменная играет роль причины, а зависимая - следствия;
- авторегрессионные модели, где зависимая переменная объясняется через ее же значения в предшествующие периоды времени;
- модели тенденции развития, в которых в качестве независимой переменной выступает время.
Тип модели оказывает большое (а часто и решающее) значение при выборе исследовательских методов, инструментов и конкретных действий.
Предположим, у нас имеются серия наблюдений, в каждом из которых зафиксированы значения у и x. Изобразим зависимость между наблюдениями графически:
На графике отчетливо видна зависимость между у и x: с ростом значений независимой переменной возрастают и значения зависимой переменной, причем зависимость носит линейный характер, что позволяет перейти к построению линейной регрессионной модели с одной зависимой переменной. Это означает, что необходимо оценить параметры прямой b0 и b1 в уравнении
(5)
Эти параметры должны задавать такую прямую, которая бы наилучшим образом соответствовала точкам, изображенным на графике. Другими словами, отклонения фактических значений от моделируемых должны быть минимальными.
|
|
Эту задачу позволяет реализовать метод наименьших квадратов (МНК). С его помощью определяются такие параметры регрессии, которые минимизируют сумму квадратов отклонений фактических и моделируемых значений объясняющей переменной. Если фактические значения обозначить через yi, а рассчитанные по модели - yi, то получим:
(6)
Возведение в квадрат применяется для того, чтобы положительные и отрицательные отклонения не уравновешивали друг друга. Кроме того, при возведении в квадрат большее значение придается бóльшим отклонениям по сравнению (сравните: одно отклонение в три единицы увеличивает значение функции (6) на 32=9 единиц, в то время как три отклонения по одной единице - только на 12+12+12=3).
Графически отклонения между наблюдаемыми и рассчитанными значениями зависимой переменной можно показать на рисунке:
Для случая парной линейной регрессии имеем:
(7)
Функция достигает минимума в точке, где первая производная обращается в 0:
(8)
После раскрытия скобок получаем систему линейных уравнений:
(9)
Решая эту систему, находим искомые параметры уравнения регрессии.
В настоящее время процедура расчета параметров регрессии реализована во многих пакетах статистического анализа, в том числе в Excel и Statistica.
Теоретически смысл коэффициента заключается в следующем: при увеличении независимой переменной на единицу зависимая переменная изменяется в среднем на величину . если Что касается коэффициента , то он характеризует среднее значение зависимой переменной, если независимая равна нулю. Однако такая интерпретация возможна не всегда. Например, в модели, рассматривающей зависимость производительности труда от стажа работника, показывает производительность работника с нулевым стажем работы. Если же вместо стажа использовать возраст работников, то подобная интерпретация станет бессмысленной.