Ранее была выведена формула Тейлора для непрерывной функции:
f(x) = f() +
f
+
f
+...+
f
+R
(x) (7)
R(x) =
(
), 0<
<1, остаточный член в форме Лагранжа;
и формула Маклорена.
f(x) = f(0) + +
+...+
+R
(x)
Если , то вместо формул Тейлора и Маклорена получим разложение
f(x) в ряды Тейлора и Маклорена, которые сходятся к f(x), когда
R
(x) = 0, для любого x
[
] (**)
Доказательство (**) требует сложного математического аппарата.
Однако для большинства элементарных функций, рассматриваемых
математическим анализом область сходимости ряда (7) формально
написанного для f(x) совпадает с областью, для которой выполняется (**).