Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) называется уравнение вида:
где и некоторые действительные числа.
Уравнение левая часть которого совпадает с левой частью уравнения (..), называется соответствующим однородным уравнением.
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами есть сумма частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения
Как находить рассматривалось в предыдущем пункте. Нахождение существенно зависит от вида правой части уравнения (..). Будем рассматривать ЛНДУ, у которого правая часть имеет вид:
1. или 2.
где произвольные числа; и многочлены степени и соответственно.
Для этих двух случаев может быть найдено по методу неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в следующем. По виду правой части ЛНДУ записывают ожидаемую форму частного решения в форме, соответствующей правой части уравнения с неопределенными коэффициентами. Затем подставляют эту форму частного решения в ЛНДУ и из полученного тождества находят значения коэффициентов.
1. Пусть правая часть ЛНДУ представляет собой произведение показательной функции на многочлен: степень многочлена, постоянная величина. Если то
Тогда частное решение этого уравнения имеет вид:
где кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения; многочлен степени с неопределенными коэффициентами. Очевидно, что может принимать одно из трех значений:
если не является корнем характеристического уравнения;
если однократный корень характеристического уравнения;
если двукратный корень характеристического уравнения.
Отметим, что если то в частном решении не будет сомножителя
Пример. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и
Найдем : характеристическое уравнение Найдем корни квадратного уравнения Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция
Найдем : правая часть Следовательно,
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
или
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения . Тогда общее решение ЛНДУ равно
Пример. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и
Найдем характеристическое уравнение Найдем корни квадратного уравнения Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция
Найдем правая часть Следовательно,
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
Разделим обе части уравнения на раскроем скобки и приведем подобные:
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения . Тогда общее решение ЛНДУ равно
2. Пусть правая часть ЛНДУ представляет собой
где числа
Тогда частное решение этого уравнения имеет вид:
где кратность, с которой чисто мнимое комплексное числовходит в число корней характеристического уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения
Решение. По теореме о структуре общего решения ЛНДУ второго порядка Значит, решение задачи состоит из двух действий – поиска и
Найдем : характеристическое уравнение Найдем корни квадратного уравнения Следовательно, общее решение однородного уравнения есть функция
Найдем : правая часть Следовательно, и так как характеристическое уравнение не имеет комплексного корня
Отсюда, ожидаемая форма частного решения ЛНДУ имеет вид:
где неопределенные коэффициенты.
Найдем первую и вторую производные и подставим их в уравнение:
Раскроем скобки и перегруппируем, собрав члены, содержащие и
Приравняв коэффициенты при и в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений:
Подставим найденные значения в формулу частного решения . Тогда общее решение ЛНДУ равно