Ковариантные координаты ускорения точки
Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат ,
, ускорения
.
Согласно определению ковариантных координат можем записать
,
.
Подставим в правую часть этого равенства значение орта , вычисленное в точке
,
.
Вынесем за знак скалярного произведения.
В результате придем к следующему выражению для :
.
В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения
,
,
.
Поэтому в множителе производная по времени строится от суперпозиции функций
и
.
А потому, согласно свойству б) функции из леммы Лагранжа, множитель
можно заменить производной
.
Кроме того, по свойству а) из той же леммы, множитель можно заменить производной
.
А тогда выражение для примет вид
. (1.5.39)
Введем функцию
,
где задается формулой (1.5.32):
. (1.5.32)
Будем иметь
,
.
Подставляя в (1.5.39)
, (1.5.39)
окончательно найдем
,
. (1.5.40)
Эта формуланазывается формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки.
|
|
Таким образом, доказали следующую теорему.
Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле(1.5.40).
Если криволинейные координаты ортогональны, то ,
.
В таком случае формула (1.5.39) позволяет вычислить контравариантные координаты вектора
.