Рис. 5
в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-вектором , а в момент
приходит в положение M 1 определяемое вектором
(рис.5). Тогда перемещение точки за промежуток времени
определяется вектором
который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ 1 видно, что
; следовательно,
.
Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени :
.
Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина
, к которой стремится средняя скорость
при стремлении промежутка времени
к нулю:
,
.
Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
Так как предельным направлением секущей ММ 1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Определение скорости точки при координатном способе задания движения
|
|
Вектор скорости точки , учитывая, что
,
,
, найдем:
,
,
.
Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы ,
,
, которые вектор
образует с координатными осями) по формулам
;
,
,
.
Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.
Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна.
Определение скорости точки при естественном способе задания движения
Величину скорости можно определить как предел ( – длина хорды
):
где – длина дуги
. Первый предел равен единице, второй предел – производная
Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:
Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении
Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.
Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость
, а в момент
приходит в положение
и имеет скорость
(рис. 6).