Пусть задана последовательность независимых случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (ортонормированная последовательность случайных величин или нормированный дискретныйбелый шум). Корреляционная функция последовательности
имеет вид
(2.7)
Сформируем из последовательности новую последовательность
:
(2.8)
Случайная величина получается путем суммирования (с весами
)
независимых случайных чисел, представляющих собой отрезок последовательности
.При этом для вычисления очередного значения
исходная последовательность
сдвигается на один элемент вправо, так что значение
выбрасывается.Зависимость (коррелированность) между случайными величинами
и
обеспечивается за счет того, что в образовании их участвует
общих случайных величин последовательности
.При
значения
и
становятся некоррелированными.Характер корреляционных связей процесса
определяется, очевидно, лишь выбором значений коэффициентов
и не зависит от закона распределения исходных случайных чисел
.Если исходные случайные числа распределены нормально, то в силу линейности преобразования последовательность
будет нормальным случайным процессом.
|
|
Случайная последовательность коррелированных чисел имитирует в точках
значения некоторого стационарного случайного процесса
с корреляционной функцией
, которая в точках
определяется, как легко видеть, соотношениями:
(2.9)
где .
Действительно, накладывая условие (2.7) на систему (2.8), получим (2.9).
Вычисление корреляционной функции по формулам (2.9) является, по существу, операцией сверткидискретной функции
с дискретной функцией
, т. е.
(2.10)
Вычисление корреляционной функции по формулам (2.9) можно свести также к перемножению матриц:
. (2.11)
Таким образом, методом скользящего суммирования по алгоритму (2.1) можно формировать дискретные реализации стационарных нормальных случайных процессов с ограниченной во времени корреляционной функцией, определяемой выбором весовых множителей .
Если коэффициенты заданы, то корреляционную функцию случайного процесса, формируемого методом скользящего суммирования, легко можно найти из соотношений (2.9) - (2.11).Но это лишь задача анализа. Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решать задачу синтеза: по заданной корреляционной функции
найти нужные коэффициенты (весовую функцию дискретного фильтра), — которая, как и многие другие задачи синтеза, значительно сложнее задачи анализа.