Большинство материалов (сталь, бетон, полимеры) состоят из частиц, представляющих собой упругие тела, а между собой они соединяются вязкой средой (типа смолы).
|
|
Для упругого элемента принимается закон Гука:
.
Для вязкого элемента в простейшем случае принимается закон Ньютона:
,
где - коэффициент вязкости.
Для большинства материалов закон ползучести нелинеен:
например, для стали ,
|
|
Для некоторых материалов такая модель не подходит, т.к. она приводит к выводу, что при бесконечном времени деформация тоже стремится к бесконечности .
Файхт придумал такую модель:
Здесь ограничителем для поршня является пружина. Эта модель ущербна тем, что при : , т.е. закон Гука для тела в целом не удовлетворяется.
Модель Кельвина:
Она лучше отражает реологические и упругие свойства материала.
Более сложную многоэтажную модель предложил Ржаницын.
|
|
Задача механики КМ заключается в определении коэффициента вязкости через коэффициенты вязкости арматуры и матрицы:
Поскольку моделей, состоящих из пружин и вязких элементов, бесконечно, то они были заменены наследственной теорией упругости. Записывается она так:
- наследственная теория упругости,
где H – ядро ползучести имеет такой вид:
или
Связь напряжений и деформаций можно представить в другом виде:
,
где R – оператор, обратный к Н, и называется ядром релаксации.
Основная задача реологии: определение из эксперимента функции R. Наиболее популярными является ядра, которые предложили Абель, Работнов, Ржаницын, Арутюнян.
Для пластиков хорошо подтверждается ядро типа Абеля
,
где c > 0, - коэффициенты вязкости.
Основная задача механики КМ заключается в отыскании функции Н, R для КМ, если известны функции , , , для матрицы и арматуры.
Примечание: Найти аналитически Н, если известна функция R, очень сложно.
1 Задача. Растяжение вдоль армирования волокон.
Дано: , , , .
Найти: для КМ.
Решение: Известно, что
. (1)
определяется по закону смесей:
Запишем соотношение (1) для арматуры и матрицы.
(2)
(3)
Из 1 Задачи 1 лекции известно, что . Подставим в эту формулу (2), (3)
Полученное уравнение будет удовлетворяться, если принять, что
- формула смесей для реологических характеристик вдоль армирования КМ (ядро релаксации).
2 Задача. Растяжение КМ поперек волокон.
Дано: , , , .
Найти: для КМ.
Решение: Напряжение в каждом элементе одинаковы а деформация: . (4)
|
|
Запишем соотношение для деформаций:
,
,
.
Подставляя в формулу смесей (4) получим:
.
Учитывая формулу смесей для податавливости поперек волокон , получим, что , одно из решений которого: - формула смесей.
Примечание: Для задачи сдвига соотношение реологии записывается аналогично
. Аналогично, можно показать, что , т.к. , .
Задание 3: На железо-бетонную колонну через плиту передается нагрузка P.
Дано: высота l, площади поперечного сечения стали и бетона , , , , , , закон ползучести .
Найти: , .
Указание: при : (для стали и бетона),
.