Понятие о передаточной функции

Если решать систему линеаризации дифференциальных уравнений, составленных для каждого элемента САУ относительно какой-либо одной регулируемой величины х(t)=х_ВЫХ(t)  по отношению к отклонению

 Рисунок 1.1 – Систем АУ         х(t)=х_ВХ(t) и к возмущающему воздействию 

                                             f (t), то в результате получим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами следующего вида:

                                                       ,                                                               (1.1)

где ; ;  - постоянные коэффициенты.

Уравнение (1.1) носит название общего дифференциального уравнения САУ или уравнения движения САУ.

Применяя к уравнению (1.1) при нулевых начальных условиях преобразование Лапласа, запишем это уравнение в операторной форме:

,      (1.2)

где X_ВЫХ(p);    Х_ВХ(p) и F(p) – изображения соответственно функций x_ВЫХ(t); х_ВХ(t) и f(t).

Передаточной функцией САУ по задающему воздействию (рисунок 1.2,а) называется отношение операторного изображения выходной величины САУ к операторному изображению входной величины САУ при нулевых начальных условиях, т.е.:

.                                         (1.3)

Соответственно, передаточной функцией САУ по возмущающему воздействию (рисунок 1.2,б) называют отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению возмущающего воздействия при нулевых начальных условиях

        

.                                                (1.4)

      а)                                                      б)     

         

Рисунок 1.2 – Передаточные функции

 

Т.к. при записи уравнений линейной САУ в операторной форме дифференциальные уравнения становятся алгебраическими, то с ними можно оперировать совершенно так же, как с линейными уравнениями для установившегося режима.

Обозначим соответственно

;  - полиномы n^-ой и m^-ой степени от р.

Тогда передаточная функция по задающему воздействию равна                                                                                                                                                                           (1.5)

где Аⁿ(р)=0 – характеристическое уравнение.

Если известны полюсы р_i и нули q_i функции W(p), соответствующие корням Aⁿ(p=0) и B^т(p)=0, то выражение (1.5) можно записать как

                    .                                       (1.6)   

Предполагается, что полиномы Aⁿ(p) и B^m(p) не имеют общих корней и дробь (1.6) не может быть сокращена.                       

 

 

Найдём переходную функцию при входном единичном ступенчатом воздействии

                        х_ВХ(t)=1(t),тогда Х_ВХ(р)= .                                 (1.7)                                                                                   

Вычислим           (1.8)

Перейдём к оригиналу.

                 ,                                    (1.9)

где р_i – корни уравнения Gⁿ⁺¹(p)=0.

Здесь предполагается, что функция W(p) не имеет кратных полюсов и что n>m.