Звено жесткое. Поэтому все его элементарные массы вращаются вокруг оси с одной частотой и одинаковым ускорением ε (рис.3.1.), т.е.
где ωr(k),εr(k) - частота и угловое ускорение k -ой массы звена.
Ускорение k -ой массы звена:
где ako - полное ускорение k -ой массы, м/с2,
- ускорение соответственно нормальное и тангенсальное k -ой массы относительно оси вращения, м/с2,
rk - радиус-вектор, соединяющий k -ую массу с осью вращения звена, м.
Сила инерции k -ой массы:
где - силы инерции k -ой массы соответственно от нормального и тангенциального ускорений.
Выражение 3.6. с учетом 3.2. примет вид:
Это система сил, направленных по rk от оси вращения, т.е. пересекающихся в оси вращения. Их равнодействующая:
Выражение под интегралом – статический момент. Из курса «Теоретической механики» известно:
где m - масса звена, кг.
rs - расстояние центра масс от оси вращения, м.
Тогда выражение 3.8. запишется в виде:
Выражение , т.е. нормальное ускорение центра масс звена относительно оси вращения. Поэтому окончательно:
Она направлена вдоль вектора rs от оси вращения.
Теперь рассмотрим выражение 3.7. – тангенциальную составляющую силы инерции элементарной массы. С учетом 3.4. оно примет вид:
Рисунок 3.1- Силы инерции вращающегося звена |
Силы перпендикулярны к соответствующим rk, т.е. представляют систему произвольно расположенных сил в плоскости. После преобразований, аналогичных предыдущим, получим:
Направление ее противоположно вектору ускорения , т.е. перпендикулярно радиусу-вектору
Точку приложения можно найти из условия равенства ее момента относительно оси вращения звена сумме моментов элементарных сил инерции элементарных масс относительно той же оси:
Левая часть:
где lok - искомое расстояние точки приложения P от оси вращения звена, м.
Подставив сюда значение из 3.11, получим:
Преобразуем правую часть 3.12:
Выражение под интегралом является моментом инерции относительно оси, проходящей через центр вращения и перпендикулярно к плоскости движения. Принято называть сокращенно – момент инерции звена относительно оси. Он характеризует распределенность массы – форму звена и является показателем инертности, его энергоемкости, обозначается:
Выражение 3.14 при этом примет вид:
Тогда искомое расстояние lok с учетом 3.13 определяется:
Перенесем в найденную точку k и силу инерции звена от нормального ускорения. Равнодействующая и :
Таким образом, сила инерции звена, совершающего вращательное движение, равна произведению его массы на полное ускорение центра масс. Приложена она в точке, отстоящей от оси вращения на расстоянии lok и направлена противополож- но ускорению центра масс.
Обычно известен Js - момент инерции звена относительно масс. Из теоретической механики известно:
Точку приложения силы инерции звена можно определ- ить с учетом 3.15:
Рисунок 3.2 - К физическому смыслу |
Эту точку назы- вают центром качания или еще центром удара. Последнее имеет вполне определенный физический смысл и учитывается при проектировании машин. Пусть звено 1, вращается вокруг А, падает и ударяет в точку В, расстояние которой от оси А можно изменять. При опора А испытывает удар вниз, а при - вверх. Когда , шарнир А вовсе не испытывает удара – динамической нагрузки. Если звено совершает процесс дробления какого-либо материала, то в этом случае вся сила его инерции расходуется полезно.