Задача 9. Фигуры на точках

1. В три ряда расположены девять точек так, чтобы образовывать вершины четырех маленьких квадратиков, складывающихся в квадрат 2×2, как показано на рисунке:

Сколькими различными способами можно выбрать треугольник, вершинами которого служат какие-либо три из этих точек?

2. В четыре ряда расположены 16 точек так, чтобы как и в первом пункте образовывать вершины девяти маленьких квадратиков, складывающихся в квадрат 3×3. Ответьте на вопрос первого пункта.

3. В n рядов расположены n ´ n точек, которые образуют квадрат как и в первых двух пунктах. Ответьте на вопрос первого пункта.

4. Пусть m ´ n точек расположены в m горизонтальных рядов по n точек так, чтобы образовывать вершины четырех маленьких квадратиков, складывающихся в прямоугольник (m –1)×(n –1). Ответьте на вопрос первого пункта.

5) В пунктах 1) – 4) ответьте на вопрос, сколькими различными способами можно выбрать параллелограмм, вершинами которого служат какие-либо четыре из этих точек? (В этой задаче будем считать, что прямоугольник также является частным случаем параллелограмма).

6) Пусть F (k) – количество всех возможных различных параллелограммов с площадью k. В пункте 1) – 4) найдите F (k) для всех натуральных значений k.

Задача 10.   Поговорим о языках

1. Для шести ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что каждый из них сможет общаться с каждым.

2. Для девяти ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. При этом никто из них не знает более трех языков. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что все они говорят на одном языке.

3. Для девяти ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском или только на английском языке. Докажите, что либо можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом только на английском языке, либо можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом только на русском.

4. Для семнадцати ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском, только на немецком или только на английском языке. Докажите, что можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.

5. Для восемнадцати ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на русском или только на английском языке. Докажите, что можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.

6. Для n ученых выяснилось, что любые двое из них общаются между собой только на одном из четырех языков. При каком наименьшем n можно выбрать троих ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.

7. Для n ученых выяснилось, что из любых троих двое знают один и тот же язык и смогут общаться между собой. При этом никто из них не знает более трех языков. При каком наименьшем n можно выбрать четверых ученых так, что все они общаются друг с другом на одном и том же языке.

8. Обобщите пункты 6 и 7, если требуется выбрать k ученых, где k любое натуральное число (Так, например, в шестом пункте k = 3, в седьмом k = 4). Получите зависимость n = n (k).

9. Предложите свои обобщения задачи.