f (x) = , cn =
, n = 0, ±1, ±2, …
При получении комплексных коэффициентов Фурье используются формулы Эйлера:
einx = cos nx + i sin nx, e–inx = cos nx – i sin nx,
из которых получаем:cos nx = , sin nx =
= i
.
- 2 π |
-π |
2 π |
π |
O |
x |
f (x) = .
• Имеем:
cn =
=
=
=
=
=
=
= i =
или, короче, c 2 n –1 = –
, c 2 n = 0.
Подставляя значенияcnв ряд Фурье, получимf (x) = =
, – π < x < 0, 0 < x < π.
Таблица разложения некоторых функций в ряд Фурье
1. y = x, – π < x < π: y = 2 .
2. y = | x |, – π < x < π: y = –
.
3. y = x, 0 ≤ x ≤ 2 π: y = π – 2 .
4. y =
: y =
.
5. y =
a > 0: y =
.
6. y =
: y =
–2·
.
7. y =
a >0, 0< α <
: y =
.
8. y = x 2, – π < x < π: y = – 4·
.
9. y =
: y =2 π ·
–
·
.
10. : y =
–
.
11. : y =
.
12. y = ax 2 + bx + c, – π < x < π: y = + c + 4 a
– 2 b
.
13. y = | sin x|, – π ≤ x ≤ π: y = –
·
.
14. : y =
.
15. y =
: y =
+
sin x –
·
.
16. : y =
.
17. : y =
.
18. y = x cos x, – π < x < π: y = .
19. y = x sin x, – π ≤ x ≤ π: y = 1 –2·
.
20. y = eax, – π < x < π: y = sh aπ
.
|
|
Разложение различных периодических функций нередко можно получить путем изменения масштаба разложения табличных функций как по оси Ох, так и по оси Оу.
Пример 49. Найти разложение вряд Фурье периодической функции y = x +1, 0 < x < 2Tcпериодом 2T.
• Сделаем замену переменных Y= , X=
, при которой наша функция преобразуется к
виду Y= Х, – π <Х< π, с периодом 2 π.Эта функция имеет разложение в ряд Фурье (см. п. 1 таблицы)
Y = 2 .
Возвращаясь к старым координатам, получим:
= 2
.
Т.о., y =(T+1) –
Пример 50. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции y = x, 0 < x ≤ 2 π cпериодом 2 π.
•Y= y – π, X= x – π => при которой наша функция преобразуется к виду Y=Х, – π <Х< π, с периодом 2 π.Эта функция разлагается в ряд Фурье (см. п. 1 таблицы)Y = 2 .
Возвращаясь к старым координатам, получим: y – π = 2 .
Т.о., y = π – 2 .