Санкт-Петербург
2013
В 2013 г. студенческая олимпиада Северо-Запада России по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО). Каждый вуз мог выставить одну команду из трех человек (в командный зачет входили все участники команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату его команды.
Олимпиада проводилась в воскресенье 19 мая 2013 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач. Каждая задача оценивалась в 10 баллов.
Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО, проф., д.т.н. Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М. доц., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С, доц., к.т.н. Блинова И.В., асс., к.ф.-м.н. Трифанов А.И.,
Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С, к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс., к.ф.-м.н. Трифанов А.И., асс. Петтай П.П.
|
|
Задачи студенческой математической олимпиады Северо-Запада России
Мая 2013 года
1. Верно ли, что для любой непрерывной на функции
найдутся такие непрерывные функции
, что для всех вещественных x выполнено:
?
2. Найти функцию , если известно, что
,
,
,
.
3. а) Существует ли полином с вещественными коэффициентами такой, что
для любого натурального k?
б) Существует ли полином с вещественными коэффициентами такой, что
для любого натурального k?
4. Найти расстояние по поверхности между городами Санкт-Петербург (северная широта , восточная долгота
) и Ханчжоу (Китай) (северная широта
, восточная долгота
). Землю считать шаром радиуса
км.,
6. Вектор разрешается умножать слева на любую из трех матриц
,
,
сколько угодно раз в произвольном порядке (например, можно получить вектор
). Можно ли из вектора
с помощью таких преобразований получить вектор
?
7. Сходится или расходится следующий интеграл: ?
8. Доказать, что любое решение дифференциального уравнения ограничено.
9. Известно, что члены последовательности удовлетворяют условию
для любых
. Показать, что
– неограниченная последовательность.
10. Последовательность задана рекуррентно:
,
,
,
. Найти сумму ряда
.
11. Пусть и
- две
матрицы с целыми элементами такие, что матрицы
,
,
, …
обратимы и у их обратных матриц все элементы целые. Показать, что
также обратима и все элементы ее обратной матрицы целые.
|
|
12. Пусть - непрерывная функция
,
,
, …
,
.Найти
.
Решения задач
1. Да. Например,
2. Из выражения для из условия следует
, откуда находим
,
. Сравнивая выражения для
из условия с найденным, заключаем, что
, т.е.
. Используя начальные условия, находим, что
. Поэтому окончательно получаем
.
3. а) Да. .
б) Нет. Допустим, такой полином существует. Определим полином
:
.
Тогда для всех
.
Значит, полином имеет бесконечно много корней. Следовательно, он тождественно равен нулю:
. Значит,
для всех x,
.
Противоречие, т.к. это не полином.
4. ,
,
, где
- долгота,
- широта (отсчет от экватора, т.е. от плоскости
). Расстояние между городами
равно длине дуги большого круга
, т.е.
, где
, O - центр Земли,
- ее радиус. Имеем
,
.
.
Так как ,
,
. Следовательно,
, т.е.
.
Ответ: (км.).
5. Могут ли функции
быть на
различными частными решениями одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения 2013 порядка с непрерывными коэффициентами и положительным коэффициентом при старшей производной?
5. Нет. Линейная комбинация решений есть решение. Если данный набор – решения, то решениями будут и . Вронскиан этой системы 2013 функций равен
Однако вронскиан n решений линейного дифференциального уравнения n -ого порядка либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни в одной точке. Противоречие.
Замечание. Можно непосредственно искать коэффициенты уравнения, последовательно подставляя данные функции, и тоже прийти к противоречию.
6. ,
следовательно, оператор умножения на матрицу поворачивает любой вектор на угол
вокруг оси аппликат и растягивает его в 3 раза. Аналогично,
,
т.е. умножение на матрицу поворачивает любой вектор на угол
вокруг оси ординат и сжимает его в 2 раза. Аналогично,
,
т.е. умножение на матрицу поворачивает любой вектор на угол
вокруг оси ординат и растягивает его в 3 раза.
С помощью композиции таких преобразований мы можем растянуть вектор в раз и сжать его в
раз. Квадрат длины вектора
, квадрат длины вектора
. Таким образом, необходимым условием возможности преобразования вектора
в вектор
является разрешимость в целых неотрицательных числах уравнения
, т.е.
, однако данное уравнение решений не имеет, т.к. правая часть делится на 5, а левая нет.
7. Интеграл расходится. Для доказательства достаточно показать, что при
. Сделаем замену переменной
. Тогда
. Поскольку
, то
,
т.к. сходится (это известно, см., например,
).Значит,
и заданный в условии интеграл расходится.
8. Из уравнения следует, что . Для любых
,
имеем
Отсюда и следует ограниченность .
9. От противного. Пусть ограничена, т.е. существует С такое, что
для всех n. Построим для каждой точки
окрестность
. Из условия
,
следует, что эти окрестности не пересекаются. Однако, в силу предположения, все они находятся внутри интервала
. Поэтому сумма их длин не превосходит
. С другой стороны, если взять первые N членов последовательности, то сумма длин соответствующих им интервалов равна
. Из-за расходимости гармонического ряда эта сумма стремится к бесконечности при
. Это противоречит полученному ранее условию ограниченности суммы длин. Значит,
не может быть ограниченной.
10. Пусть , где
.Непосредственной проверкой убеждаемся, что
,
,
,
.
Рассмотрим выражение
,
,
в силу рекуррентного соотношения. Сложим эти равенства для всех
. Получим
.
После упрощения получим .
Простая замена превращает это уравнение в уравнение Эйлера
. Легко найти его частные решения вида
:
,
,
или
.
Общее решение . Из начальных условий (
) находим
и
.
Ответ: .
Замечание. Решение уравнения Эйлера можно найти и стандартным способом, сведя его к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью логарифмической замены переменной.
|
|
11. Пусть - матрица
имеет все целые элементы, и ее обратная
также состоит из целых элементов. Тогда
. Тогда
или
. Введем
.
есть полином степени n по t. Полином
принимает значения 1 или -1 в точках
Значит,
принимает одно и тоже значение (1 или -1) по крайне мере в (n+1) точке. Но степень полинома равна n. Поэтому полином постоянен:
или
. Следовательно,
или
. Значит, матрица
обратима. По формуле для элементов обратной матрицы получаем, что они все целые, т.к. определитель матрицы равен 1 или -1.
12. Определим последовательность функций следующим образом:
,
,
. Найдем представление для членов последовательности.
.
Поменяем порядок интегрирования:
.
.
.
. Аналогично,
. Докажем по индукции. База уже проверена. Сделаем индукционный переход:
.Формула доказана.
По условию для всех n, т.е.
- есть полная система в
, а функция f ортогональна всем ее элементам. Значит,
. То есть
.
Количество участников, решивших задачи (определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на стоимость задачи).
№ задачи | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Кол-во решивших | 26,2 | 51,9 | 31,3 | 41,2 | 10,5 | 12,6 | 10,3 | 18,6 | 14,5 | 5,9 | 3,4 | 4,8 |
Результаты в командном зачете:
Диплом 1 степени –
Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (НИУ ИТМО)
Диплом 2 степени –